Beste Antwort
Zuerst müssen wir uns den Modul (oder den Modul) ansehen Zahl, durch die wir zu teilen versuchen). In diesem Fall ist das 1818. Dann fügen Sie 1818 in die Totientenfunktion von Euler ein, um ϕ zu erhalten (18) ϕ (18). Insbesondere haben wir für alle ganzen Zahlen nn
ϕ (n) = n∏p | n (1 – 1p), ϕ (n) = n∏p | n (1−1p),
wobei das Produkt alle eindeutigen Primfaktoren von nn durchläuft. In diesem Fall also
ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.
Ok, der nächste Schritt ist also der Satz von Euler , der besagt, dass für jede andere Ganzzahl aa relativ prim zu nn, wir haben, dass aa zur ϕ (n) ϕ (n) Potenz einen Rest von 11 hinterlässt, wenn durch nn geteilt. Das heißt,
aϕ (n) ≡1 (modn) .aϕ (n) ≡1 (modn).
Da 1717 tatsächlich relativ prim zu 1818 ist, kennen wir 176176 Blätter eine Erinnerung an 1. Dies bedeutet, dass wir 176176 von 1720017200 weiter teilen können, ohne den Rest zu ändern. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, ist, dass 17 für jede Potenz, die ein Vielfaches von 6 ist, einen Rest von 1 hinterlässt. Da 200 also 2 mehr als ein Vielfaches von 6 ist, wissen wir, dass
17200≡172 (mod18) .17200≡172 (mod18).
Dies macht das Problem viel einfacher – wir sind fast da! Eine Abkürzung hier, um das Problem zu beenden, besteht darin, zu erkennen, dass 1717 einen Rest von -1-1 hinterlässt, wenn es durch 1818 geteilt wird (dh 17≡-1 (mod18) 17≡-1 (mod18)), so dass 172172 einen Rest von (- hinterlässt 1) 2 = 1. (- 1) 2 = 1.
Unsere Antwort lautet also 1 . Das nächste Mal haben Sie ein Problem mit dem Rest Mit einer großen Leistung können Sie diese nette verallgemeinerte Lösung verwenden und gleichzeitig intelligent klingen :). Wenn Sie die Modmod-Notation noch nicht gesehen haben, lesen Sie Modulare Arithmetik .
PS Sie haben möglicherweise von einem Sonderfall dieses Theorems gehört genannt Fermats kleiner Satz , der funktioniert, wenn Sie einen Modul haben, der „eine Primzahl ist (hier nicht der Fall). Der Satz besagt, dass für jede Primzahl pp und Ganzzahl aa, die kein Vielfaches von pp ist,
ap – 1≡1 (modp) .ap – 1≡1 (modp).
Dies ist ein interessanter Trick, aber es ist im Grunde das gleiche wie oben, da ϕ (p) = p – 1ϕ (p) = p – 1 für jede Primzahl pp. Diese Art von Fragen wird wirklich einfach, wenn Sie das Konzept von negative Reste . Versuchen Sie immer, die Dividende auf 1 oder -1 zu reduzieren.
Rem [17 ^ 200/18] = Rem [(-1) ^ 200/18] = Rem [1/18] = 1
Antwort
Wichtiger Hintergrund zur Lösung des Problems :
Wir wissen, dass der Rest, der erhalten wird, wenn r pq teilt, ein Produkt von Resten ist, die erhalten werden, wenn r p und q getrennt teilt. Dies nennt man Lemma auf Resten. Sie können dies durch den Teilungssatz von Euklid beweisen.
Die Lösung
17, wenn sie durch 18 geteilt wird, lässt den Rest übrig -1 (es ist zweckmäßig, mit -1 als 17 zu arbeiten)
Wenn Sie das Rest-Lemma auf 17 × 17 × 17 … × 17 (2000-mal) anwenden, wenn es durch 18 geteilt wird, erhalten Sie den Rest, wenn das einzelne Reste werden multipliziert, dh -1 × -1 .. × -1 (2000-mal), dh der Rest ist 1 \ blacksquare
Wenn es 17 wäre, würde der Rest -1 oder 17 sein .