Beste Antwort
Ja. Sie sind sich nicht sicher, wie wertvoll ein Beweis dafür ist, aber in der euklidischen Geometrie definieren Sie parallele Linien wie folgt:
Das sagen wir AB \ parallele CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC}.
Nun nehmen wir das Gegenteil an – AB und CD treffen sich beispielsweise an einem Punkt P rechts von GH ( der Bestimmtheit halber könnte man immer annehmen, dass P links von GH steht). Dann ist in \ bigtriangleup {EFP} \ angle {P} = 0 ^ o. Was bedeuten würde, dass AB und CD zusammenfallen (was natürlich nicht wahr ist). Woher können sich AB und CD nicht treffen.
Dies ist jedoch nur die Hälfte des Beweises – wo wir zeigen, dass parallele Linien sich nicht treffen können. Um zu beweisen, dass Linien, die sich nicht treffen, parallel sind, betrachten Sie das folgende Diagramm:
Wenn AB und CD sich nicht treffen, dann muss es wahr sein, dass EF = GH. Außerdem ist EF \ parallel GH konstruktionsbedingt, was bedeutet, dass \ angle {FEG} = \ angle {EGH}. Woher \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ impliziert \ Winkel {HEG} = \ Winkel {EGF} \ impliziert AB \ parallele CD.
Antwort
Wenn a Die Linie verläuft parallel zu einer Ebene. Sie verläuft senkrecht zum Normalenvektor der Ebene (genau wie jede andere Linie in der Ebene oder parallel zur Ebene).
(Beachten Sie, dass ich „senkrecht“ verwende ”Hier nicht in dem Sinne, dass sie sich notwendigerweise schneiden, sondern in dem Sinne, dass ihre Vektoren bei 90 Grad liegen würden, wenn sie nebeneinander platziert würden)
Um herauszufinden, ob zwei Vektoren senkrecht sind, nur nimm ihr Punktprodukt. Wenn es gleich 0 ist, sind sie senkrecht.
Wenn wir also zum Beispiel die Ebene haben: 2x + 3y – 4z = 7 (normaler Vektor wäre hier <2,3, -4>)
Und wir wollen herausfinden, ob die Linie: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t parallel dazu ist. Wir brauchen nur das Punktprodukt des Linienvektors (<1, -2, -1>) und der Normalenvektor der Ebene.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
In diesem Fall sind die Linie und die Ebene parallel.
Wenn wir dieselbe Ebene verwenden möchten, aber vergleiche es mit der Zeile: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, dann erhalten wir:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Wir können also sehen, dass diese beiden nicht parallel sind.