Beste Antwort
Wir können jede positive ganze Zahl n in der Basis-Zehn-Notation als n = a\_k10 ^ k + a\_ darstellen. {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, wobei a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} und a\_k \ neq 0. Dann n \ geq 10 ^ k. Die Summe der Ziffern ist a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Diese Ungleichung folgt aus a\_i \ leq 9. Es ist nun leicht zu erkennen, dass wenn k \ geq 2, dann 18 (k + 1) 0 ^ k ist. Jetzt bleiben uns die Elemente n = 10a\_1 + a\_0. Diese können einfach mit einem Computer überprüft werden. So habe ich es mit Python gemacht
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Die einzige positive Ganzzahl, die doppelt so groß ist wie die Summe ihrer Ziffern, ist 18. Wenn wir nicht negative Ganzzahlen berücksichtigen, haben wir auch 0. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie diese Frage für negative Ganzzahlen interpretiert werden soll.
Antwort
Die Zahl N ist das Produkt der ersten 100 positiven ganzen Zahlen. Wenn alle Ziffern von N ausgeschrieben wären, welche Ziffer würde am Ende neben allen Nullen stehen?
Grundsätzlich suchen wir nach 100! und dann wollen wir am Ende alle Nullen verwerfen, dann wollen wir wissen, was die erste Ziffer ungleich Null ganz rechts ist.
Eine Möglichkeit besteht darin, tatsächlich 100 zu berechnen! Verwenden Sie ein Programm wie bc (Bench Calculator unter Linux oder Unix) und verwerfen Sie dann alle Nullen, um die gewünschte Ziffer zu erhalten.
Schauen wir uns eine andere Möglichkeit an, das Problem mithilfe des Divide and Conquer-Prinzips zu lösen.
Verwerfen wir alle Zahlen, die mit 1 i enden. e. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, da sich beim Multiplizieren die letzte Ziffer des vorherigen Vielfachen (Produkt bis zu diesem Zeitpunkt erreicht) nicht ändern wird und wir nicht daran interessiert sind 100 berechnen! ohnehin ohne Nullen.
Schauen wir uns die ersten 9 Zahlen an, die mit 2 beginnen, und sie sind:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Von links nach rechts ergibt 2 * 3 6, 6 * 4 24, behalten Sie einfach 4 und multiplizieren Sie es mit 5, um 20 zu erhalten (da wir Null verwerfen möchten), behalten Sie jetzt 2 und multiplizieren Sie es mit 6, um 12 zu erhalten, behalten Sie erneut nur 2 bei und multiplizieren Sie es mit 7, um 4 (von 14) zu erhalten, und multiplizieren Sie es mit 8, um 2 zu erhalten (3 von 32 werden verworfen), und multiplizieren Sie es mit 9, um 8 zu erhalten ( Wenn Sie 1 von 18 verwerfen und mit 10 multiplizieren, erhalten Sie 8 (Verwerfen von 0 oder 80). Auf diese Weise erhalten Sie eine einzelne Ziffer, die 8 ist.
Ähnlich wie bei 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 gibt Ihnen wieder 8 .
Die nächste Serie 22, 23…, 28, 29, 30 gibt Ihnen 2.
In der nächsten Serie erhalten Sie 4
Wenn Sie in ähnlicher Weise mit der verbleibenden Serie fortfahren, erhalten Sie 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 und 2 .
Nun das Finale Aufgabe ist es, die Ziffern wie oben zu multiplizieren, zu denen wir für jede der Reihen gelangt sind.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 und während Sie diese multiplizieren Ziffern und verwerfen die zehnte Ziffer auf dem Weg, wir kommen zu 4 als letzte Ziffer.
Dies ist th Die endgültige Antwort auf die Frage 4 ist die erforderliche Ziffer.