Mejor respuesta
A2A.
El valor de tan40 ° no se puede encontrar usando una suma trigonométrica estándar, fórmulas de diferencia o submúltiples ángulos. Sin embargo, si se siente cómodo resolviendo ecuaciones cúbicas, este método puede resultarle útil—
Lo sabemos,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Sustituyendo x como 40 ° en esta ecuación—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Escribiendo tan40 ° como y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° es un valor estándar y es igual a – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Al resolver esta ecuación, se obtienen tres valores de los cuales el valor positivo produce tan 40 °.
Por lo tanto, aproximadamente, tan 40 ° = 0.8394.
Respuesta
¿Cuál es el valor de \ tan 40 ^ o?
Podemos encontrar el valor de \ tan 40 ^ o a cualquier nivel deseado de precisión usando la serie de Taylor de \ tan x.
La serie de Taylor de una función valuada real o compleja f (x) que es infinitamente diferenciable en un punto real o complejo a está dada por ,
f (x) = f (a) + \ frac {f «(a)} {1!} (xa) + \ frac {f» «(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f «» «(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Esto se puede escribir de forma compacta como f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad donde f ^ {(n)} (a) denota la n ^ {th} derivada de f (x) en x = a.
Cabe señalar que, en el caso de funciones trigonométricas, el ángulo debería expresarse en radianes y no en grados.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ derecha) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Tomando x = \ frac {2 \ pi} {9} y a = \ frac {\ pi} {4}, tenemos (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
En a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x es infinitamente diferenciable.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f «(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f» (a) = f «\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f» «(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f «» (a) = f «» \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f «» «(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f «» «(a) = f» «» \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ derecha) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ approx 0.83892575.
El valor de \ tan (40 ^ o) dado por Excel es 0.83909963.
Se puede ver que incluso con solo 4 términos de esta serie infinita, el error es solo 0.0272 \\%.
Si se obtiene mayor precisión necesario, podemos tomar más términos de la serie infinita.