Mejor respuesta
Dado que la elipse es un círculo aplastado, podríamos considerar un círculo equivalente. Esto sería solo una aproximación y no el valor exacto del perímetro de la elipse.
Sabemos que la ecuación de una elipse es:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Cuando a = b = r esto se convierte en la ecuación de un círculo. Entonces podría escribir la ecuación del radio equivalente del círculo en términos de a y b.
Más bien tomando la media de a y b obtendríamos una mejor aproximación por tomando la raíz cuadrada media de a y b.
es decir
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Por tanto, el perímetro aproximado de la elipse sería:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Hay aproximaciones mucho mejores pero creo que esto sería suficiente.
Espero que esto ayude.
Respuesta
Intentemos si podemos encontrar la circunferencia de una elipse.
Una elipse con el semi eje mayor ay el semi eje menor b tiene la ecuación:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Un gráfico (aquí tendremos que conformarnos con pintar, mi software matemático necesita una renovación de licencia):
Para encontrar la circunferencia necesitamos expresar parte de esta circunferencia \ text {d} s como una función de \ text {d} x, \ text {d} y, con suerte llegar en alguna expresión utilizable.
Si asumimos que podemos aproximar \ text {d} s por una línea recta, podemos aplicar Pitágoras:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ etiqueta * {}
o
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Supongo que siempre tomamos \ text {d} x> 0, o nos movemos de izquierda a a lo largo del eje principal.
Todo lo que queda es un anuncio d estas pequeñas contribuciones de longitud de arco. Podemos considerar x \ in [0, a] y multiplicar por 4 porque nuestra elipse es simétrica en el eje x, y.
Encontramos:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ etiqueta {2}
Si encontramos una forma (agradable) de expresar:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
estamos en el negocio.
Sin embargo, ya tenemos la expresión (1), que relaciona y con x. Es hora de calcular (3), usaré la diferenciación implícita:
\ Displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
o
\ Displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ etiqueta * {}
o
\ Displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Necesitamos poder escribir esto usando solo x. Usaremos (1) nuevamente:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Sustituye (5) en (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Sustituir en (2):
\ Displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ etiqueta {6}
Hay algunas opciones para reescribir esta integral. Una opción sería establecer x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z y se llegaría a:
\ Displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Un método diferente sería utilizar una parametrización de la elipse de la siguiente forma:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Y esto conduce a una integral elíptica del segundo tipo, que es más o menos el enfoque estándar:
\ Displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
con
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
la excentricidad de la elipse.
Comparando las expresiones (6,7) y (8), vemos que uno podría preferir (8) sobre (6, 7). La última expresión no solo es más simple en su parámetro e, sino que se comporta bien. En la expresión (6,7) todavía tenemos un problema cuando x \ a a, z \ a 1.
Sin embargo, no hay una expresión de forma cerrada para el resultado. Para un círculo tenemos e = 0 y (8) se reduce muy bien a 2 \ pi a, como se supone que debe hacer. Lo mismo es cierto para (6,7).