Mejor respuesta
Respuesta original: ¿Cuál es una buena estimación de la raíz cúbica? de 4?
La raíz n-ésima de N es una raíz de x ^ nN = 0. La derivada de x ^ nN es nx ^ {n-1}, por lo que dada una estimación inicial, x, de la raíz, una estimación más cercana usando el método de Newton es
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
que es el promedio de ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 de estos}} \ text {y} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Este promedio ponderado tiene sentido una vez que se da cuenta de que tanto x como \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} son estimaciones de la raíz n-ésima de N, que están «apagadas» en direcciones opuestas , y que x es una estimación n-1 veces mejor que \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Ahora, apliquemos el método …
Sea N = 4. Sea x su estimación de la raíz cúbica de 4. Empiece con una buena estimación, como x = 2. Luego calcule
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ para obtener una mejor estimación.
En este caso,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667…
Luego, repita usando x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ approx 1.5911111 …
Esta es una aproximación buena a unos 3 dígitos significativos, así que hagámoslo una vez más,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ approx 1.58740969614163 …
Esto es bueno para aproximadamente 6 dígitos significativos. Con cada iteración, la cantidad de dígitos correctos aproximadamente se duplica.
Respuesta
Dependiendo de cuánto sepa en matemáticas, hay 2 formas posibles:
- Usar logaritmos
- Usar métodos iterativos (método de bisección, método de Newton-Raphson, etc.)
Logaritmos- Tome x = 2 ^ {1/3}
Entonces, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (aproximadamente)
por lo tanto, x = antilog (0.100343) = 1.2599 (aproximadamente)
Métodos iterativos- Lo mostraré con el método de bisección, puedes probar con otros si quieres. (El proceso es casi el mismo.)
Sea x = 2 ^ {1/3}
Entonces, x ^ 3 – 2 = 0
Sea f (x) = x ^ 3 – 2
Elegimos dos valores tales que uno dé f (x) <0 y otro dé f (x)> 0
Vemos que f (x) <0 para x = 1 y f (x)> 0 para x = 2. Entonces, x1 = 1, x2 = 2
Ahora tomamos el promedio de estos valores como nuevo x
Entonces, nuevo x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
Vemos que tanto 1.5 como 2 dan valores> 0, por lo que descartamos 2, ya que da el valor de f (x) más alejado de 0. Solo mantenemos los valores de x que dan el valor de f (x) más cerca de 0
Entonces tomamos x1 = 1 y x2 = 1.5
nuevamente encontramos nuevo x = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
f (1.25) = -0.046875
Ahora descartar 1 como 1.25 da el valor de f (x) más cercano a 0
por lo que tomamos x1 = 1.25 y x2 = 1.5
De nuevo encontramos una nueva x como promedio de estos 2 valores, sustituya en f (x) para ver su signo, y dependiendo de eso, tomamos nuestros nuevos valores x1 y x2.
Repita este proceso hasta que esté satisfecho con su respuesta (x final).
P.D. Estos procesos nunca darán una respuesta exacta, debes detenerte en alguna aproximada.