La mejor respuesta
@Ujjayanta Bhaumik ha dado una buena solución que da una idea de en qué rango se encuentra realmente el pecado 40, pero si quieres para calcular su valor aproximado mentalmente, aquí está la solución.
Utilice esta fórmula
F (a + h) = F (a) + hF` (a) …… … . (A)
Aquí h es un valor muy pequeño.
Supongo que el ángulo se da en grados.
Si cualquier ángulo x está en grados, entonces es igual a ( x × π / 180) unidad en radianes.
En cuestión (a + h) = 40π / 180
(a + h) = (37 × π / 180 + 3π / 180).
a = 37 × π / 180
h = 3π / 180.
También F` (x) = cos x
F` (a) = cos 37 × π / 180 = 4/5 = 0.8
F (a) = sin 37 × π / 180 = 3/5 = 0.6
Poniendo estos valores en (A)
sin (40 grados)
= F (40 grados)
= F (37 grados + 3 grados)
= F (37 × π / 180 + 3π / 180)
= F (37 × π / 180) + 3π / 180F` (37π / 180)
= sin (37 × π / 180) + 3π / 180 × cos 37 × π / 180
= 0.6 + (3π / 180) × 0.8
sin (40 grados) = 0.641 (Aproximadamente)
Respuesta
¡Pregunta muy interesante! Una pregunta similar es, ¿cómo calcula la calculadora el valor de sin, cos, etc.? O podría preguntar, ¿qué hacía la gente antes de que se inventara la calculadora, es decir, antes de ca. 1970? Todas estas son preguntas muy similares y las respuestas están estrechamente relacionadas.
Pero supongo que está preguntando cuál sería un método práctico hoy para calcular el pecado, el cos, etc. en caso de que no tenga acceso a cualquier dispositivo electrónico.
Las respuestas dadas son todas buenas. Verás, es realmente una gran cantidad de trucos diferentes. Depende de cuán precisa quieras tu respuesta. Por lo tanto, primero debe aceptar que, hagas lo que hagas, solo obtendrás un resultado aproximado. Puedes obtener la precisión que desees, pero un resultado más preciso requerirá más cálculos. Cada cálculo «mejora» la precisión del resultado anterior. – por así decirlo.
Si desea obtener más información sobre esta pregunta, entonces todo el tema se incluye en Análisis numérico . El método general es aproximar la función, por ejemplo, sin (x), mediante algún polinomio. Normalmente es posible encontrar un polinomio cuyos valores de función estén muy próximos a los de sin (x), siempre que x esté muy cerca de 0.
Mirando específicamente a la función sin (x) tenemos algunas opciones adicionales. Por ejemplo, podemos usar la propiedad especial que: \ sin (x + y) = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) Por supuesto, esto solo funciona para \ sin (x). Pero, por ejemplo, \ ln (x) tenemos algo similar: \ ln (x \ cdot y) = \ ln (x) + \ ln (y) Estas relaciones especiales se pueden usar de varias maneras ingeniosas para agregar a la bolsa de trucos.
Para otro método que no se menciona en las otras respuestas, algunas computadoras hoy en día usan el método CORDIC .