Mejor respuesta
Divide, usando división larga.
½ = 1 ÷ 2
1 ÷ 2 = 0 con un resto de 1, por lo que el lugar de uno es 0.
Agregue un 0 al resto y repita la división:
10 ÷ 2 = 5 con sin resto, por lo que el lugar de la décima es 5.
Si seguimos, seguiremos añadiendo ceros al final; así que hemos terminado.
De forma más concisa:
\ tfrac12 = 1 ÷ 2
1 ÷ 2 = \ mathbf {0} R1: 0
10 ÷ 2 = \ mathbf {5} R0: 0.5
Entonces \ tfrac12 = 0.5.
Probemos con \ tfrac18:
\ tfrac18 = 1 ÷ 8
1 ÷ 8 = \ mathbf {0} R1: 0
10 ÷ 8 = \ mathbf {1} R2: 0.1
20 ÷ 8 = \ mathbf {2} R4: 0.12
40 ÷ 8 = \ mathbf {5} R0: 0.125
Entonces \ tfrac18 = 0.125
Probemos con \ tfrac13:
\ tfrac13 = 1 ÷ 3
1 ÷ 3 = \ mathbf {0} R1: 0
10 ÷ 3 = \ mathbf {3} R1: 0.3
Si continuamos, seguiremos agregando más 3s:
10 ÷ 3 = \ mathbf {3 } R1: 0.33
10 ÷ 3 = \ mathbf {3} R1: 0.333
Entonces, en lugar de hacer eso, simplemente dibujaremos una línea sobre el 3 para indicar que se repite indefinidamente:
\ tfrac13 = 0. \ overline3
De manera más general, cada vez que obtiene un resto que obtuvo antes, el patrón se repite desde ese punto anterior.
Probemos con \ frac16:
\ frac16 = 1 ÷ 6
1 ÷ 6 = \ mathbf {0} R1: 0
10 ÷ 6 = \ mathbf {1} R4: 0.1
40 ÷ 6 = \ mathbf {6} R4: 0.16
\ frac16 = 0.1 \ overline6
Probemos con \ tfrac17:
\ tfrac17 = 1 ÷ 7
1 ÷ 7 = \ mathbf {0} R1: 0
10 ÷ 7 = \ mathbf {1} R3: 0.1
30 ÷ 7 = \ mathbf {4} R2: 0.14
20 ÷ 7 = \ mathbf {2} R6: 0.142
60 ÷ 7 = \ mathbf {8} R4: 0.1428
40 ÷ 7 = \ mathbf {5} R5: 0.14285
50 ÷ 7 = \ mathbf {7} R1: 0.142857
\ tfrac17 = 0. \ Overline {142857}
Respuesta
Es una pregunta interesante, con un algoritmo no trivial.
La mayoría de las calculadoras utilizan fracciones continuas. Se itera la función x | -> 1 / (x-int (x)), manteniendo un registro de int (x) todo el tiempo.
Digamos que necesita convertir 1.3529411764705883 a una fracción. Su int es 1, el resto invertido es 1 / .3529411764705883 = 2.8333333333333326. Su int es 2, el resto invertido es 1 / .8333333333333326 = 1.200000000000001. Su int es 1, el resto invertido es 4.999999999999975. Su int es 4, el resto invertido es 1 / .999999999999975 = 1.000000000000025. Su int es 1, el resto invertido es 40000000000000.0. Su int es 40000000000000, el resto es 0 por lo que no se puede invertir (o cortó un paso antes, notando que 40000000000000 es demasiado grande).
De todos modos, ahora tiene sus ints: 1,2,1 4,1,40000000000000. Luego simplemente invierte el proceso: invierta el último redondeándolo a 0, agregue el penúltimo (1), invierta (1), agregue el anterior (4), obtenga 5, invierta (1/5), agregue 1 obteniendo 6/5, invertido obteniendo 5/6, sumando 2 obteniendo 17/6, invertido obteniendo 6/17, sumando 1 obteniendo 23/17. Esa es la solución.