Mejor respuesta
Técnicamente no es así como log \, n = log\_ {10} \, n, no log\_2 \ , n.
Pero si a = b, entonces log \, a = log \, b, ¿verdad? Entonces, si n = n (lo que obviamente lo hace), entonces log\_2 \, n = log\_2 \, n. Ahora, como log\_2 \, 2 = 1, también podemos escribir log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, ¿no?
Y como log \, a ^ b = b \ cdot log \, a, vemos que log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Esa es una propiedad bien conocida de los logaritmos.
Ahora, el último paso necesita que te des cuenta de que el logaritmo es una función monótona. Eso es crucial; significa que si los resultados son los mismos, los argumentos también son los mismos. No funcionaría, por ejemplo, sinus… Pero para funciones monótonas, si f (x) = f (y) entonces x = y. Entonces, finalmente podemos afirmar que 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
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Usando la propiedad de registros donde \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, podemos probar la declaración, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
La prueba:
Establezcamos la declaración original igual ay. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Ahora, podemos aplicar log base 2 a cada lado. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Usando el propiedad de registro previamente establecida, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
La base de registro b de b siempre será igual a 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Por lo tanto, y = n