La mejor respuesta
La forma de demostrar esa identidad depende en gran medida de cómo piense en el seno y el coseno.
Si piensa en el seno y el coseno como las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo (como en la escuela secundaria, donde enseñan al seno como opuesto sobre la hipotenusa), entonces obtiene un triángulo rectángulo con lados a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (este último por el triángulo pitagórico), y \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Si piensa en el seno y el coseno como las coordenadas de un punto en el círculo unitario (parametrizado por la longitud del arco del círculo), entonces, según la definición del círculo unitario, cada punto satisface x ^ 2 + y ^ 2 = 1, entonces el punto (\ sin \ theta, \ cos \ theta) también lo hace, entonces \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
El seno y el coseno también se pueden definir como soluciones independientes de la ecuación diferencial f = -f, con \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Dado que solo hay dos soluciones independientes para la ecuación , y es fácil ver que f ^ {(n)} es una solución, debe darse el caso de que \ sin x, \ sin x, \ sin x no pueden ser soluciones independientes. De hecho, \ sin x = – \ sin x, entonces \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, entonces \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . De esto podemos diferenciar implícitamente \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x para obtener 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Entonces, el valor de \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x es una constante, y evaluado en 0 obtenemos \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, entonces \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
El seno y el coseno también se pueden definir mediante la serie de potencias \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Una expansión cuidadosa de esas series de potencias en la expresión \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x mostrará todos los términos que involucran x ^ n cancelar, dejando solo el término constante 1 como valor.
Respuesta
Para pensar en esto, tenemos que considerar cuáles son las razones trigonométricas. Sabemos que la razón del seno es igual al ángulo opuesto a un lado sobre la hipotenusa desde un ángulo, o o / h. También sabemos que la razón del coseno es igual al lado adyacente a un ángulo sobre la hipotenusa, o a / h. A continuación, vemos que ambas razones están al cuadrado, lo que significa que la identidad trigonométrica, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, es equivalente a (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, que es igual a o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Como tenemos un denominador común, podemos combinar estas dos ecuaciones para obtener, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Entonces podemos mirar esto y darnos cuenta de que estamos definiendo todos los lados de un triángulo. Sabemos por el Teorema de Pitágoras que, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Podemos ver que dado que cada uno de estos valores de o, a y h son todos los lados diferentes de un triángulo, son iguales a a, by c. El valor de c en el Teorema de Pitágoras es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo que sabemos que h = c. Esto significa que ayb son iguales ay a. No importa cuál se asigne a qué letra, ya que los resultados no cambiarán. Entonces podemos ver que a través del Teorema de Pitágoras, sabemos que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, lo que lleva a o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Esto significa que podemos sustituir el numerador de nuestra ecuación anterior, haciéndolo equivalente a (h ^ 2) / (h ^ 2). Finalmente, sabemos que cualquier variable dividida por sí misma es igual a 1, por lo tanto, esta ecuación es igual a 1. Si volvemos a la ecuación original, hemos probado que sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.