Mejor respuesta
Para probar esto, use la fórmula de Sine Subtraction.
es decir, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Aquí a = π y b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Por lo tanto probado
Respuesta
Prueba 1:
La forma más sencilla de demostrar
cos (π / 2 – x) = sin x
es poner A = π / 2, B = x en la fórmula trigonométrica
cos (AB) = cos A. cos B + sen A. sin B ………………………………. (1)
y obtener
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Sustituyendo cos π / 2 = 0 y sin π / 2 = 1 en (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (probado)
Prueba 2:
Sea ABC un triángulo rectángulo en B. Sea AB la base y AC la hipotenusa. Si denotamos el ángulo C por x, el ángulo base A = (π / 2 – x) de modo que A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π o 180 °.
Ahora, para el ángulo base A, BC es la perpendicular.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / hipotenusa = AB / AC ………… .. (3 )
Para el ángulo C, AB es la perpendicular y por lo tanto
sin C = sin x = perpendicular / hipotenusa = AB / AC ……………. (4)
Igualando (3) y (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (probado)
Prueba 3:
Utilice la fórmula de Euler
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
que define el símbolo eⁱᶿ para cualquier valor real de θ. Aquí i = √-1.
∴ Podemos poner θ = (π / 2 – x) en la fórmula y escribir
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
O, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Ahora e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i y e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
O, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Dado que i² = -1]
Igualando las partes real e imaginaria,
cos (π / 2 – x) = sin x (Comprobado)
y cos x = sin (π / 2 – x)
Observaciones finales:
De los tres métodos presentados aquí para probar la afirmación dada, el método preferido debe ser la Prueba 1. Esto se debe a que es simple, directo y rápido. Puede hacerlo mentalmente un estudiante promedio en unos 30 segundos. En la Prueba 2, hay espacio para la confusión en cuanto a cuál es la base, cuál es la perpendicular derecha a tomar. Además, es necesario dedicar más tiempo a dibujar un triángulo, marcar los lados, los ángulos, etc. La prueba 3 está bien; pero no muchos se sienten cómodos o buenos para trabajar con funciones complejas. El método implica más álgebra que los otros métodos; pero da una ventaja, a saber: prueba la fórmula cos x = sin (π / 2 – x).