Mejor respuesta
La expresión en el La pregunta no es del todo correcta.
El teorema del binomio
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
se aplica a todos los números complejos x y y y enteros no negativos n .
Sean x = 1 e y = -1. Luego, en el lado derecho, tendrá las diferencias alternas deseadas y las sumas de combinaciones (a lo que se refirió como elija s). En el lado izquierdo tiene 0 ^ n, que aparentemente está asumiendo que es 0. Sin embargo, el teorema del binomio, como se indicó anteriormente, se aplica a todos enteros no negativos n , que incluye 0, en cuyo caso el lado izquierdo es 0 ^ 0 = 1, un caso que no permitió.
En caso de que no me crea, pruebe este ejercicio trivial: escriba las primeras filas del triángulo de Pascal. La fórmula «elegir» en la pregunta publicada es equivalente a elegir cualquier fila y, comenzando en el elemento más a la izquierda (que siempre es 1, sin importar la fila que elija), luego reste el siguiente elemento a la derecha y continúe alternando sumando y restando todos los elementos de esa fila. Observe que con la fila que contiene 1 1 y la fila que contiene 1 2 1 y la fila que contiene 1 3 3 1, todos dan 0 con este proceso. Sin embargo, ¿qué sucede en la fila superior que contiene solo 1? Comenzamos con ese 1 y nos preparamos para restar el siguiente elemento, pero no hay el siguiente elemento, por lo que ya hemos terminado con un resultado de 1, no de 0. No es necesario excluir la fila superior del concepto de que las diferencias alternas y sumas da como resultado 0 ^ n para todas las filas.
Si usted es uno de los que tiene un problema con respecto a 0 ^ 0 = 1, realmente necesita superar ese problema, al menos en el contexto de exponentes enteros. Si considera que 0 ^ 0 no está definido, también descarte el teorema del binomio y la prueba anterior, porque no podría usar el teorema del binomio para evaluar (0 + y) ^ {n} y (x + 0) ^ { n}, independientemente del valor de n , porque el último término en la expansión binomial para la primera potencia y el primer término en la expansión binomial para la última potencia ambos involucran 0 ^ 0, por lo que tendría que llamar a esa suma indefinida y agregar la exclusión totalmente innecesaria y tonta de que el teorema del binomio no se aplica para x = 0 y para y = 0. También infringiría la regla del producto vacío, que indica que el producto de ningún factor debe ser el elemento de identidad multiplicativo , 1. La relación 0! = 1 también es importante para el teorema del binomio, así como para muchos otros lugares, ¡pero con 0! uno no está multiplicando factores a partir de 1, por lo que es un producto vacío y, en última instancia, es la regla del producto vacío la que nos dice que 0! = 1. Esa misma regla del producto vacío nos dice que x ^ 0 = 1 para todos números complejos x , y el valor de x no afecta a la regla del producto vacío, así que sí, x = 0 se aplica tan bien como cualquier otro valor de x ; no hay casos de excepción justificados de ninguna manera.
Hay muchas otras razones para considerar 0 ^ 0 = 1 al menos en el contexto de exponentes enteros: la definición de fórmulas de polinomios y series de potencias usando la notación ∑ y la manipulación de tales polinomios y series de potencias, varios problemas combinatorios y otros. No hay una justificación sólida para considerar que 0 ^ 0 tiene un valor distinto de 1 o considerarlo como indefinido, al menos en el contexto de exponentes enteros.
Algunos de ustedes pueden estar un poco angustiados por Escribo eso porque viola todo lo que te han enseñado, tal vez tanta angustia que te cuesta incluso contemplar la posible validez de lo que he escrito, y estás a punto de escribir algún comentario de respuesta para decirme dónde me equivoco. Para evitar que parezca tonto con comentarios erróneos, seguiré adelante y abordaré lo que esperaba que vendría:
- “Mi libro de texto y mi maestro dijeron que 0 ^ 0 no está definido, y podrían no estar mal «. Odio tener que decírselo y hacer que estalle su burbuja con respecto a sus maestros y libros de texto, pero hay muchos temas en los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria (y otras materias) que están demasiado simplificados hasta el punto de ser incorrectos. Mis comentarios aquí no tienen la intención de menospreciar a los profesores de matemáticas de la escuela secundaria; tienen una tarea desafiante y la mayoría realmente quiere hacer un gran trabajo y ayudar a los estudiantes a progresar.La mayoría de los profesores de matemáticas de la escuela secundaria no se especializaron en matemáticas en sus estudios universitarios; la mayoría se especializó en educación con una especialización en matemáticas. Aprenden cómo piensan los diferentes estudiantes, cómo explicar diferentes puntos en una variedad de formas, cómo encontrar y diagnosticar problemas que los estudiantes tienen con el material y otras cosas muy valiosas que no están directamente relacionadas con las matemáticas. Pasan tiempo en aulas simuladas, así como en aulas reales bajo la guía del maestro real, para practicar. Obtienen una revisión en profundidad de las matemáticas que anticiparían enseñar, es decir, en el nivel de la escuela secundaria. Tomarán algunos cursos de matemáticas de nivel universitario en su programa, pero ni cerca de tantos o tan avanzados como los que tomaría una especialización en matemáticas. Los estudiantes de matemáticas no hacen nada de eso, pero en sus cursos más avanzados obtienen una mayor exposición a lo que hacen los matemáticos profesionales reales, en vivo, y la mayoría de los profesores de matemáticas no obtienen esa exposición: no se dan cuenta de cómo los matemáticos realmente definen cosas como los números naturales y números enteros, exposición limitada a matemáticos que usan radianes en lugar de grados para medidas angulares (y la falta de símbolo de unidad para ángulos implica radianes, no grados), no tenerlo empapado en lo que los matemáticos profesionales consideran como el orden apropiado de operaciones (y no , no es PEMDAS, BODMAS,…), etc. Tus profesores de matemáticas enseñan lo que dice el libro para enseñar y no son conscientes de que te están enseñando cosas que son contrarias a lo que hacen los matemáticos profesionales.
- Leyes de división de exponentes: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, que no está definido, por lo que 0 ^ 0 debe ser indefinido ya que son iguales. Se ha realizado un paso no válido en el segundo =. Una de las leyes de división de los exponentes es b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, pero tiene algunas restricciones para poder usarse. Una de ellas es que la aplicación de la ley no debe en ningún momento generar una expresión que implique un recíproco de 0 o una división por 0. Por lo tanto, el uso de esta ley está prohibido cuando b = 0, porque genera tonterías, y esa es la tontería de la que quiere hacer uso para «probar» su punto. Lo siento, pero para probar un punto, no puede hacer uso de algo que es tan absurdo que no es válido. Los pasos no válidos constituyen una prueba fallida. Además, escribir cosas como a = b = c donde c no está definido no es válido— a y b puede ser válido o no. Las ecuaciones no deben utilizarse cuando al menos uno de los lados no está definido o es inválido. Tienes prohibido concluir incluso que 1/0 = 1/0, porque ambos lados no están definidos, por lo que no puedes decir que son iguales. ¿Cómo puedes saber que dos cosas son iguales cuando ni siquiera tienes idea de qué son esas dos cosas? significa (y no puedes tener idea porque no tienen definición).
- «0 ^ 0 es una forma indeterminada, por lo que no puede tener un valor; mi libro de texto de cálculo lo dice». El concepto de formas indeterminadas es muy real y útil siempre que lo mantenga en el contexto previsto. Las formas indeterminadas se aplican únicamente en el contexto de los límites: que no se puede mirar esa forma y determinar si existe un límite y, si existe, cuál es ese valor limitante. Escribir 0 ^ 0 se refiere a cuál es el valor de f (x, y) = x ^ y en (x, y) = (0, 0) – no cuál es el límite cuando x y y se acercan a 0 de forma independiente. Puede existir un límite, pero la función no está definida allí; una función puede estar definida allí pero el límite no existe. Los dos conceptos no tienen nada que ver el uno con el otro, excepto cuando uno o ambos (valor definitorio y valor límite) fallan, la función no es continua en ese punto. Decir que un límite está tomando la forma 0 ^ 0 significa que no se puede decir solo con esa información si el límite existe y cuál es su valor. Ese hecho no tiene nada que ver con si 0 ^ 0 = 1 o no está definido. Decir 0 ^ 0 = 1 no significa que un límite que adopte la forma 0 ^ 0 debe tener el valor 1.
- 0 ^ y = 0 para todos los y y x ^ 0 = 1 para todos x distintos de cero. (Muchas personas que usan este argumento olvidan que y no debe ser negativo y tratan los dos casos como simétricos). Si sustituye 0 por ambos x y y , en un caso 0 ^ 0 = 0 y en el otro caso 0 ^ 0 = 1: una contradicción , por lo que no se puede definir. Bien, veamos. Hay dos números cuyo cuadrado es 9: +3 y −3; por lo tanto, la raíz cuadrada de 9 es +3 pero la raíz cuadrada de 9 es −3. Oh, tenemos una contradicción, por lo que no debe existir la raíz cuadrada de 9; debe estar indefinida.No, +3 es una respuesta más útil que −3, por lo que definimos √9 = 3. El hecho de que x ^ 0 = 1 no solo para todos los x pero también para todos los complejos distintos de cero x e incluso todos los cuaterniones x distintos de cero; Por otro lado, 0 ^ y funciona de una manera sencilla solo para x reales positivos, no reales negativos, no imaginarios, por lo que no tiene más sentido ir con la definición que tiene un solo agujero en lugar de considerar seriamente una opción que tiene un número incontable de agujeros ? El resultado de 1 es mucho, mucho, mucho más útil que 0 para 0 ^ 0. Si estamos dispuestos a llamar a la raíz cuadrada de 9 como +3 cuando hay muchas menos razones para la preferencia, cuánto más llamar 0 ^ 0 = 1, cuando hay una razón muy fuerte para la preferencia. La regla del producto vacío exige la elección de 1 y no de 0. Muchas aplicaciones prácticas encuentran que 1 es un resultado extremadamente útil, mientras que 0 o indefinido serían resultados problemáticos. Ninguna aplicación significativa tiene 0 como resultado útil, por lo que elegimos 1.
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\ text {Según el teorema del binomio}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Reemplazar a = 1 y x por – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implica 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ Displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}