Mejor respuesta
Un número complejo es un número de dos partes. Tiene una parte real y una parte imaginaria. Tendemos a escribirlo en la forma,
a + bi, donde i es la raíz cuadrada de uno negativo, es decir, (-1) ^ (1/2)
Mientras tanto , el cuadrado de un número es el número multiplicado por sí mismo. Esto significa que
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Encontramos algo similar a esto cuando consideramos factores de ecuaciones cuadráticas. Existe un enfoque sistemático para expandir el producto de dos factores de dos partes. Es posible que haya encontrado el acrónimo «FOIL»:
- Multiplica los dos F primeros términos
- Multiplica los dos O términos
- Multiplica los dos I términos
- Multiplica los dos L ast términos
Sume los cuatro términos para la respuesta
Aplicar el mismo enfoque FOIL , con (a + bi) * (a + bi), obteniendo
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Podemos reorganizarnos un poco. Los dos términos del medio son iguales, por lo que podemos enumerarlos una vez, pero multiplicados por dos.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Y ahora, mira ese último término y date cuenta de que el cuadrado de un producto se puede escribir como el producto de los cuadrados separados. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Apliquemos esa regla:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Pero «i» es la raíz cuadrada de -1. El cuadrado de la raíz cuadrada de un número es el número en sí. Entonces (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Vamos a conectar esto.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ese último término sigue siendo feo. Podemos conmutar el «tiempo negativo» al otro lado y reescribir el término completo como una resta.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Pero mirando el expresión, no seguimos el formato de una parte real seguida de una parte imaginaria. Tenemos una parte real, una parte imaginaria y otra parte real. Reagrupemos las partes reales juntas.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Respuesta
Primero, piense en un número complejo, a + bi como un par ordenado (a, b ). En el PLANO COMPLEJO con un EJE REAL horizontal donde normalmente está el eje x y un EJE IMAGINARIO vertical donde normalmente está el eje y, grafica el punto (a, b) de la manera normal. Ahora, la distancia desde el origen al punto (a, b), creo que se llama MÓDULO de número complejo, llamémoslo r.
Sabemos que r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) por el teorema de PYTHAGOREAN. (Perdón por la notación, pero estoy limitado con eso)
Además, el ángulo entre el eje real positivo y la línea desde el origen a (a, b) llamaremos Theta (usemos T para eso). (Se llama el ARGUMENTO del número complejo)
Ahora. El número complejo a + bi se puede escribir en FORMA POLAR como
a + bi = r (Cos T + iSin T) ya que
a = r CosT y. b = r Sin T
Sacar la raíz cuadrada de a + bi, usa la forma polar.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Entonces, para hacer esto simple, solo mira la gráfica del número complejo a + bi, con una línea desde el origen hasta (a, b). Ahora gira la línea hasta la mitad de regreso al eje x, y acórtala a la raíz cuadrada siempre que era. La coordenada de ese punto final es la raíz cuadrada del número complejo. El otro La raíz cuadrada está a solo 180 grados desde allí.
Para probar eso, tomemos la raíz cuadrada de Z = -4
La gráfica es un punto en el eje real negativo , 4 unidades a la izquierda del origen. El ángulo T = 180 grados.
para sacar la raíz cuadrada de -4, simplemente rote la línea de regreso a 90 grados (la mitad de 180) y acorte su longitud a 2 la raíz cuadrada de 4. Terminamos 2 unidades hacia arriba en el eje imaginario. Entonces, una raíz cuadrada de -4 es 2i. Y la otra raíz cuadrada es -2i, 180 grados de distancia.
En símbolos:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
y 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Para obtener la raíz cuadrada de (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radical 2 sobre 2 + (i) radical 2 sobre 2.