Mejor respuesta
Comience observando que sin 35 ° está cerca de sin 30 ° = 1/2. Así que inmediatamente sabemos que es aproximadamente 1/2. Eso está dentro de aproximadamente el 7\% del valor real.
Intentemos obtener una mejor estimación. Por la identidad de la suma de ángulos,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Ahora, dado que 5 ° = π / 36 es un ángulo relativamente pequeño, podemos usar las aproximaciones sin x ≈ x y cos x ≈ 1. Entonces
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Ahora π ≈ 22/7 y (√3 / 2) ≈ 7/4 porque 49/16 ≈ 3. Así que obtenemos
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Esto difiere de el valor real en menos del 1\%.
Otro enfoque es calcularlo utilizando los primeros términos en la expansión de la serie de Taylor de sin x . Tiene una precisión superior al 0,1\%, pero es más difícil de calcular manualmente que 83/144.
Respuesta
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Ahora Sin (3x), de la fórmula general, es igual a 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, por lo tanto, poniendo x = 10 grados, lo que da Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 y por lo tanto,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 o, manipulando esta ecuación y poniendo Sin (10) = y, obtenemos
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Resuelva este cúbico usando un método iterativo numérico como el método de Newton-Raphson, a mano, para obtener, después de un slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Obviamente, puede ir a menos cifras dependiendo de cuál sea su precisión requerida.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Coloque los valores de Cos (10) y Sin (10) en (1) arriba para obtener:
Sin (35) = 0.57357643639 según lo solicitado.