Mejor respuesta
Al ver las otras respuestas ya publicadas, no estoy del todo satisfecho con su integridad. … Y, como tutor de matemáticas experimentado, me siento obligado a dar una respuesta completa.
La fórmula cos (2x) que indicaste es una de las tres identidades de doble ángulo para el coseno. Resolver esta ecuación para sin (x / 2) da como resultado la identidad de medio ángulo para el seno.
Tenga en cuenta que donde Marqué *. Una de las reglas de trigonometría menos conocidas indica que puedes dividir de manera equivalente todos los argumentos de las funciones trigonométricas por la misma constante en ambos lados de una ecuación. De hecho, puede dividir cualquier constante. pero esto puede no ser siempre útil. Intente resolver la ecuación anterior para sin (x / 3), luego use esto para encontrar sin (pi / 12). Funciona a la perfección.
Ahora, para usar la fórmula sin (x / 2), debes manipular la ecuación dada usando una fracción compleja equivalente como se muestra aquí:
Por supuesto, esto se demuestra en la primera imagen de arriba. Además de conocer / derivar la identidad de medio ángulo, el mayor desafío es aplicarla.
Responder
I. Usemos un enfoque de resolución de problemas conocido como equivalencia .
Con este enfoque elegimos un objeto ventajoso o un conjunto de objetos y miramos mirándolos desde diferentes … ángulos con la esperanza de que podamos derivar una relación fructífera en el proceso.
Uno de esos objetos o nociones podría ser área cuadrada .
Comenzamos con un triángulo rectángulo cuya longitud de hipotenusa es una unidad, elegimos un ángulo x y marcamos las longitudes de los lados del triángulo como \ cos x, que acordamos tratar como altura y \ sin x, que aceptamos tratar como la base del triángulo:
Entonces asumimos que es un hecho comprobado que el área cuadrada de un triángulo es el producto reducido a la mitad de su base. e sobre altura:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
El siguiente paso es bastante desafiante porque en el vacío realmente no sabemos exactamente qué nos espera al otro lado de 2 \ sin x \ cos x. Desde el punto de vista de los descubridores, estamos mirando al abismo de lo desconocido. Así que llámalo intuición, un pensamiento feliz o simplemente una nariz, pero razonamos así:
ok, hemos encontrado una manera de adjuntar una noción concreta (un área cuadrada) a una que de otro modo sería abstracta y, seamos sinceros es una expresión bastante misteriosa, pero no exactamente ya que todavía debemos trabajar el factor 2 allí.
¿Cómo podemos hacer eso?
Bueno, ¿qué tal unir los dos triángulos idénticos juntos?
Entonces la altura, o la \ cos x en nuestra jerga, sigue siendo la misma, pero ganamos soldando las dos bases idénticas, \ sin x en nuestra jerga, en una:
Observe que seguimos / interpretamos su expresión de manera pedante.
Ahora es el momento de equivalencia para mantenerse erguido y ser contado. La nueva forma compuesta sigue siendo un triángulo y su área cuadrada sigue siendo:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
pero tenemos derecho a mirar la misma forma de manera diferente: si tratamos el lado de la longitud 1 como una base, entonces la perpendicular a ella, que se muestra en rojo, es la altura. Pero el ángulo en el vértice superior es 2x. Por lo tanto, la nueva altura por definición es:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Por lo tanto, la misma área cuadrada del mismo triángulo puede ser representado como:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Pero ( 2 ) y ( 4 ) representan la misma magnitud. Por lo tanto:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
desde donde descubrimos que:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Para un tratamiento similar pero más alfabetizado, comience con el mismo triángulo que el anterior y duplique la longitud de su lado \ sin x construyendo un círculo \ sigma con el centro en B y el radio BA:
Pero ahora AC se cruza con \ sigma en E (siempre que x 5 ^ {\ circ}) y por el teorema de Thale o por el B3P31 de Euclides (el ángulo en un semicírculo es recto) el ángulo en E es recto:
y dado que los triángulos rectángulos ABC y AED comparten un ángulo común \ theta se deduce que \ angle ADE = x y de \ triangle AED para ED tenemos:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Pero del triángulo rectángulo CED para ED tenemos:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
y por lo tanto:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(puede pensar en esto como una equivalencia más delgada, ya que hemos utilizado la longitud de un segmento de línea para cerrar la brecha entre las dos piezas juntas)
III. Con toda probabilidad, esta versión puede parecer demasiado avanzada, pero la mostraré de todos modos y por dos razones. Una razón es demostrar que en matemáticas no solo hay muchas formas diferentes de obtener el mismo resultado, sino que algunas de estas formas pueden parecer sorprendentes. La otra razón: tendrá algo que esperar aprender.
En algún momento de su educación matemática, puede encontrar estos objetos llamados números complejos . Con estos números, nuestras dos funciones trigonométricas pueden registrarse de la siguiente manera (debido a un gran matemático suizo Leonard Euler (1707-1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ etiqueta {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ etiqueta * {}
donde e es Número de Euler y tengo esta propiedad peculiar de que i ^ 2 = -1 pero ignore todo esto por un momento y simplemente sin rodeos multiplica las dos fracciones anteriores de acuerdo con las reglas del álgebra de la escuela secundaria:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
de acuerdo con ( 5 ).