¿Cómo entender ∫udv = uv-∫vdu? ¿Lo interpreto como una regla de producto inversa?


Mejor respuesta

Comencemos con la regla de producto.

Ejemplo: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

¿Cómo llegué allí? La regla del producto es: Cuando y = uv, siendo uv dos funciones diferentes multiplicadas juntas, en este caso seno y coseno dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Entonces, en el ejemplo anterior, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 o (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

La regla del producto inverso es simplemente lo contrario, como la integración es lo opuesto / opuesto a la diferenciación.

Entonces, de dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) ¡Integremos todo! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

La diferenciación de y se convierte en dy / dx, por lo que la integración vuelve a y. Por lo tanto, y = ∫u dv + ∫v du

Ya que sabemos que y = uv (ver arriba) uv = du dv + ∫v du

Entonces simplemente reorganizamos el ecuación como tal:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Yo tampoco la entiendo completamente, pero esto es lo mejor que puedo para explicar cómo derivarlo.

Respuesta

Aquí hay una forma de pensarlo: ∫udv se integra a lo largo del eje v. Calcula el área bajo la curva u hacia v.

∫vdu se integra a lo largo del eje u. Calcula el área a la izquierda de la curva v, hacia u.

Junte los dos y obtendrá un cuadrado: el área completa entre los ejes uy v. El área total es el producto de los dos: uv. En resumen, obtienes:

∫v du + ∫u dv = uv

A partir de ahí, puede derivar fácilmente la fórmula. También es fácil de visualizar.

Fuente: Sigma MathNet

Esta es una simplificación excesiva de la idea, que es más general que esto, pero es una explicación común (y a veces tratada como una prueba informal). Para un poco más de discusión, consulte Explícame esta prueba sin palabras de integración por partes .

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