Mejor respuesta
Sí, es el Problema de Monty Hall disfrazado. «Cambiar» en ese problema es solo una forma de enfatizar que una probabilidad es diferente a la otra. En ese problema, preferiría tener la puerta que el anfitrión podría haber abierto, pero no lo hizo. Aquí, preferiría ser el prisionero que el alcaide podría haber nombrado, pero no lo hizo. Lo mismo.
A está mal. Cree que solo aprendió información sobre B, y nada sobre A o C. Pero sí aprendió algo sobre C: el alcaide podría haberlo nombrado, pero no t. Debido al lanzamiento de la moneda, el 50\% del tiempo en el que A habría sido indultado, el alcaide habría nombrado a C. Pero nombraría B el 100\% del tiempo en el que C habría sido indultado. Esta proporción, del 50\% al 100\%, es lo que hace que ahora sea dos veces más probable que C sea indultado.
Aparte histórico: el problema que citó fue publicado originalmente en la edición de octubre (creo) de 1959 de Scientific American por Martin Gardner. En el mismo número, se disculpó por obtener una respuesta incorrecta a esta pregunta:
- Sr. Smith tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean varones?
Originalmente había dicho que la respuesta era 1/3. Pero la pregunta tal como se presenta es ambigua; depende de cómo se enteró de que al menos un niño era un niño.
Si fue porque preguntó «¿Es al menos uno chico? ”, entonces 1/3 es correcto. Pero si fue un hecho aleatorio lo que aprendió, lo que significa que también podría haber aprendido «al menos una es una niña», entonces la respuesta es 1/2.
Y de hecho, el problema de los dos niños es solo una variación del problema de los tres prisioneros con cuatro prisioneros en lugar de tres, o el problema de Monty Hall con cuatro puertas. Gardner planteó los Tres Prisioneros para aclarar cómo funcionan estos problemas e incluyó la parte sobre el lanzamiento de la moneda específicamente para mostrar cómo es el proceso mediante el cual obtuvo la información, no la información sola, lo que determina la respuesta.
Respuesta
El problema de los tres prisioneros puede entenderse más fácilmente si nos atenemos a probabilidades condicionales en lugar de probabilidades posteriores.
Así que tres prisioneros A, B, C son condenado a muerte y uno de ellos ha sido indultado en base a un juego de azar. El prisionero A le pide al alcaide que al menos revele el nombre de uno de los otros prisioneros, que no ha sido indultado.
Al hacer esta pregunta, A ha creado dos grupos.
- Grupo I: participación de A solo.
- Grupo II: participación de B y C.
En correspondencia con estos dos grupos, hay dos eventos:
- Alguien del Grupo I es indultado. (A solo).
- Alguien del Grupo II es indultado (B o C).
Ya que ambos estos eventos son equiprobables, las probabilidades de ambos eventos son \ frac {1} {2}. Dentro del segundo grupo, las probabilidades de que se elija B o C son nuevamente \ frac {1} {2}.
El alcaide ahora nombra a B como el prisionero que no ha sido indultado.
Dado que el alcaide no ha dicho nada sobre el prisionero C, esto significa que la probabilidad del segundo evento (que alguien sea perdonado del grupo que involucra a B y C) sigue siendo la misma: \ frac {1} {2}.
Pero dado que B ha sido eliminado, esto significa que la probabilidad de que C sea perdonado del Grupo II ha aumentado de \ frac {1} {2} a 1 !!! ¡¡¡Esa es su posibilidad de obtener el perdón se ha duplicado !!!
Por otro lado, por el mismo razonamiento, dado que el alcaide no ha dicho nada sobre el prisionero A, la probabilidad del primer evento (que alguien sea perdonado de el primer grupo) sigue siendo el mismo – \ frac {1} {2}.
Así que la pregunta del prisionero A no le da a A ninguna información nueva sobre su destino. Por otro lado, el preso C (a quien A le ha dado esta información), ahora sabe que sus posibilidades de obtener el perdón se han duplicado.
Esto es todo lo que necesita saber para comprender la esencia de los Tres Prisioneros. Problema. Sin embargo, si desea verificar su intuición utilizando la fórmula de Bayes. Puede hacerlo como se muestra a continuación:
Formulación de Bayes del problema de los tres prisioneros
Sean A, B y C los eventos correspondientes a la liberación de los prisioneros A, B y C respectivamente.Y sea b el caso de que el alcaide le diga a A que el prisionero B debe ser ejecutado, entonces, usando el teorema de Bayes, la probabilidad posterior de que A sea perdonado es:
P (A | b) = \ frac {P (segundo | A) P (A)} {P (segundo | A) P (A) + P (segundo | B) P (B) + P (segundo | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
La probabilidad de C ser perdonado, por otro lado, es:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (segundo | B) P (B) + P (segundo | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Por lo tanto, la probabilidad posterior de que A sea perdonado sigue siendo la misma que la probabilidad a priori (\ frac {1} {3}), mientras que la de C perdonado se duplica.
Puede ver el efecto de las probabilidades condicionales sobre las probabilidades posteriores en el término P (b | A) (\ frac {1} {2}) y P (C | b) (1).