Mejor respuesta
Yo usaría la identidad \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, o
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Entonces \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Ahora usa la identidad \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, o
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Entonces obtenemos
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Respuesta
Este ejercicio sugiere el uso de fórmulas de medio ángulo para producir nuevas expresiones de menor grado. Es difícil ver esto sin contexto, así que tenga en cuenta que estos problemas siempre se pueden resolver con fórmulas de medio ángulo.
Por lo tanto, podemos dividir la expresión original en el producto de dos (sen x) ^ 2 términos y proceder a usar la segunda fórmula en la imagen que adjunto.
Multiplica y expande para obtener
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
¡Oh, no! ¡Parece que no hemos terminado! Bueno, no se preocupe, eche un vistazo a la primera fórmula en mi imagen adjunta y reemplace el término al cuadrado por la expresión. Observe que comenzamos con 2x y debemos duplicarlo a 4x en lugar de exactamente lo que está escrito en la fórmula. Por lo tanto, reemplace y ceda:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Luego obtenga un denominador común y muévalo con el 1 / 4, dando un 1/8 en el exterior.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Combine términos semejantes para nuestra respuesta final
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
¡Excelente pregunta!