Mejor respuesta
¿Cómo resuelvo tan theta = -2?
Bueno, para esto, comenzamos usando la función arctan , que es la inversa de la tangente y encuentra un valor \ theta tal que \ tan (\ theta) = -2.
Podemos calcular el valor, pero este es un complejo procedimiento que involucra números imaginarios . Esto parece un gran problema, por lo que usar un conjunto de tablas sería más fácil, aunque quizás un poco menos preciso. Si bien tengo un juego viejo en el loft de mis padres, eso no me sirve de nada en este momento, así que busquemos algunas mesas en Internet. Espera, si tengo acceso a Internet, ¿por qué no ver si Internet puede hacer el cálculo por mí?
Bueno, estas aproximaciones son probablemente más precisas de lo que necesitamos, pero nos quedaremos con ellas por ahora.
¿Quizás no te gusta la idea de ángulos negativos? No se preocupe, es fácil convertirlos en ángulos positivos agregando 2π radianes / 360 °.
Por lo tanto, tenemos 5.17603659 radianes / 296.5650512 °
Pero no hemos terminado. !
La función arctan solo devuelve ángulos en el rango exclusivo (-0.5 \ pi, 0.5 \ pi), es decir (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Entonces, ¿hay otros ángulos cuyo valor de tangente sea -2?
Primero, el la función tangente da un valor negativo cuando el ángulo está en el segundo y cuarto cuadrantes, es decir, cuando los ángulos están en los rangos exclusivos (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) y (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Ya tenemos la solución en el cuarto cuadrante, entonces, ¿cuál es la solución en el segundo cuadrante? Eso es el este, simplemente tome π radianes / 180 ° de la solución en el cuarto cuadrante.
¿Por qué? Bueno, de la fórmula del ángulo compuesto para la función tangente , tenemos:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – como \ tan (\ pi) = 0
Esto nos da nuestra segunda solución, 2.03444393 radianes / 116.5650512 °
Segundo, la función tangente es periódica, con un período de 2π radianes / 360 °; esto significa que agregar cualquier múltiplo de 2π radianes / 360 ° a nuestro ángulo devolverá el mismo valor de tangente .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – como \ tan (2 \ pi) = 0
Por lo tanto, usando k para representar cualquier número entero, nuestro conjunto de soluciones completo es:
(2.03444393 + k \ pi) \ radianes o (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Respuesta
Recuerda que sec (theta) = 1 / (cos (theta). Entonces tienes
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, que es una ecuación cuadrática en cos (theta). Las dos raíces de esta ecuación son (3 + – sqrt (5)) / 2 que en realidad son 1 + – phi, donde phi es la famosa “Proporción áurea” y son las raíces de la cuadrática x ^ 2 – x – 1.
Dado que phi es una raíz, dividir esta ecuación por phi ^ 2 muestra que la otra raíz es -1 / phi. Y dado que phi + 1 = phi ^ 2, tenemos que las raíces de tu ecuación original son phi ^ 2 y 1 / phi ^ 2. Dado que el coseno debe ser 1, debemos usar la raíz más pequeña .
Ahora considere la antigua serie de Fibonacci 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 en la que el término (n + 1) es la suma de los términos n y (n -1). Resulta que phi y su raíz conjugada están estrechamente relacionados con esta serie. La forma en que esto se aplica aquí es la siguiente:
Si el enésimo término de Fibonacci es F (n), entonces phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (La prueba es una inducción en n, usando la definición de Fibonacci F (n + 1) = F (n) + F (n-1) en el último paso). Entonces, desea mostrar que phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Las F 6 y 7 son 5 y 8. Así que tienes que evaluar
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – raíz cuadrada (5)) / 2). Si multiplica esto y racionaliza el segundo término, obtiene 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED