Mejor respuesta
Así es como me acercaría a encontrar una solución aproximada:
El valor de x debe estar en el intervalo [-1,1] como fuera de ese intervalo x ^ 2> 1 que está fuera del rango de \ sin {x}. Se puede restringir aún más al intervalo [0,1] como cuando -1 \ le x , \ sin {x} 0. Dentro del intervalo [0,1] existe una solución trivial para x = 0.
Para x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } mientras que x ^ 2 \ sin {x}, debe existir al menos una solución en el intervalo (0,1]. Además, en este intervalo \ sin {x} tiene una segunda derivada negativa, mientras que x ^ 2 tiene una segunda derivada positiva, por lo que hay como máximo una solución en el intervalo (0,1]. Una vez que la curva de x ^ 2 supera a la de \ sin {x}, no puede volver a cruzar.
Entonces, hay exactamente una solución en (0,1]. Para estimar esa solución, use los dos primeros términos de la serie de Taylor para la función seno para obtener x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Esto se reduce ax ^ 2 + 6x-6 = 0 o x = \ sqrt {15} -3 como la solución aproximada. A seis lugares decimales, \ sqrt {15} -3 \ approx 0.872983.
En comparación, una aproximación numérica da la solución a seis lugares decimales como x = 0,876726. Así que nuestra aproximación usando solo dos términos de la serie de Taylor fue bastante cercana, pero no perfecta.
Respuesta
Para una pregunta como esta, normalmente es una buena idea graficar las funciones para tener una idea de cómo se comportan. Supongamos que desea respuestas con números reales.
Podemos sumar 2x a ambos lados y luego dividir por 2 para obtener x = 1.3 \ sin (x). La función seno está acotada entre -1 y 1, por lo que solo debemos preocuparnos por los valores de x entre -1,3 y 1,3. La gráfica y = x es solo una línea recta. La gráfica y = 1.3 \ sin (x) tiene una pendiente hacia arriba entre -1.3 y 1.3, porque 1.3 es menor que un ángulo recto, y el seno aumenta de – \ pi / 2 a \ pi / 2.
Si sabe algo de cálculo, sabrá que la tasa a la que aumenta 1.3 \ sin (x) viene dada por 1.3 \ cos (x). Esta tasa de cambio aumenta y luego disminuye nuevamente (lo que se llama punto de inflexión). La gráfica de y = 1.3 \ sin (x) es cóncava hacia arriba de -1.3 a 0 y luego cóncava hacia arriba de 0 a 1.3. Es relativamente fácil detectar que x = 0 es una solución. Debido a que la pendiente de y = 1.3 \ sin (x) es mayor que la pendiente de y = x en ese punto, cruza de abajo hacia arriba. Ahora, en este punto, decidí que debería calcular el valor de 1.3 \ sin (1.3). Recuerde, por supuesto, que la función seno se aplica a los ángulos expresados en radianes. Es menos de 1.3.
En este punto, puede inferir la naturaleza de la situación. Las dos funciones se cruzan tres veces de -1,3 a 1,3. Llame a la solución positiva c. Debido a la simmatría (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) la solución negativa es -c. La concavidad de 1.3 \ sin (x) evita que existan otras soluciones. Así que todo lo que queda es averiguar qué es c.
Lo que a algunos estudiantes les resulta extraño es que a menudo no existe una «forma cerrada» para la solución de una ecuación como esta. Podemos decir que hay una solución entre 0 y 1,3, pero creo que en este caso no tenemos una fórmula para ello en términos de funciones familiares. Entonces, si quiere lidiar con eso, debe decidir qué necesita saber al respecto.
Si desea calcularlo con cierta precisión, existen algunos métodos. Hay un enfoque ingenuo que funciona en este caso. Si toma un valor de x entre 0 y 1.3, si es menor que la solución, entonces 1.3 \ sin (x) es mayor, y si es mayor que la solución, entonces 1.3 \ sin (x) es menor. Entonces, si sigues reemplazando tu valor de x por 1.3 \ sin (x), se aproxima a la raíz. Entonces digamos que empiezo con x = 1.0. Entonces 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … entonces usa eso como el valor de x a continuación. Este proceso converge en la solución, aunque no muy rápidamente porque cada paso solo acerca el valor un poco más a la solución.
Un segundo método es subdividir el intervalo. Entonces, podríamos intentar evaluar 1.3 \ sin (1.1) y 1.3 \ sin (1.2) para obtener el primer decimal de la solución. Dado que 1.3 \ sin (1.1) 1.2 parece que la raíz está entre 1.1 y 1.2. Entonces podemos probar con 1.3 \ sin (1.15) para ver si la solución es menor o mayor que 1.15. Este método tampoco converge tan rápido, aunque funciona bien en algunas situaciones donde el primer método no lo hace.
Hay algunos otros métodos ( Root- algoritmo de búsqueda – Wikipedia ) especialmente el método de la secante y el método de Newton. Convergen más rápidamente.
El método de la secante mantiene dos aproximaciones en cada lado, por ejemplo 1.1 y 1.2. Luego, pretendemos que ambas gráficas son líneas rectas para obtener una solución aproximada. El cálculo no es tan simple, aunque no es realmente complicado.
La iteración de Newton le pide que dibuje una línea tangente a la curva para aproximar el punto donde se cruzan las dos curvas, y luego repita. Si comienza con un valor lo suficientemente cercano a la raíz, generalmente converge razonablemente rápido.El número de dígitos de precisión generalmente se duplica con cada paso (aunque parece poco probable que alguien quiera muchos dígitos de precisión en la raíz).