La mejor respuesta
Hay dos formas de saber si una matriz (y por lo tanto el sistema de ecuaciones que representa la matriz ) tiene una solución única o no.
a. Método de Cramer.
Convierta el sistema de ecuaciones en la forma matricial AX = B donde A = matriz de coeficientes, X = matriz de variables y B = matriz de resultados.
Nombre la matriz de coeficientes como D. Para una matriz de 3 x 3, reemplace la 1ª, 2ª y 3ª Columnas de la matriz D con la matriz de columnas de resultados para obtener las matrices Dx, Dy y Dz.
- Si D no es igual a 0, y si al menos uno de Dx, Dy y Dz no es igual a 0, entonces el sistema de ecuaciones es consistente y tiene una solución única.
- Si D = 0 y si Dx, Dy y Dz = 0 pero si al menos uno de los Constituyentes de la matriz de coeficiente (aij) o al menos uno de los 2 x 2 menores no es igual a 0, entonces el sistema de ecuaciones es Consistente y tiene infinitas soluciones.
- Si D = 0 y al menos uno de Dx, Dy y Dz no es cero, entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente (sin solución).
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones produce una solución única solo cuando el valor del Determinante no es igual a cero.
b. Método de rango
Escriba el sistema de ecuaciones en formato matricial AX = B donde A = Matriz de coeficientes, X = Matriz de variables y B = Matriz de resultados.
Descubra el rango de la matriz A.
Escriba la matriz aumentada [A, B]
Descubra el rango de la matriz aumentada [A, B]
- 1. Si el rango de la matriz A no es igual al rango de la matriz aumentada, entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene solución.
- Si el rango de ambas matrices es igual e igual al número de variables desconocidas en el sistema y si la matriz A no es singular, entonces el sistema de ecuaciones es consistente y tiene una solución única.
- Si el rango de ambas matrices es igual pero si el rango es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema de ecuaciones es consistente y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto, solo hay tres posibilidades: inconsistente y sin solución, consistente con una solución única, consistente con infinitas soluciones.
Entonces, el rendimiento del sistema una solución única solo cuando el rango de la matriz de coeficientes = rango de la matriz aumentada = número de incógnitas.
Respuesta
La teoría te dice que Ax = b tiene una solución única si \ det (A) \ neq0 y, en caso contrario, no tiene solución o es infinita. La matriz se llama singular en ese caso
La práctica, sin embargo, te dice que esto casi nunca sucede. Entonces, ¿se pueden resolver todos los conjuntos de ecuaciones? Si y no. Si la matriz es casi singular, puede obtener una solución, pero no será significativa. La razón es que pequeñas fluctuaciones en el lado derecho pueden causar enormes fluctuaciones (en varios órdenes de magnitud) en la solución. En ese caso, el sistema se denomina mal acondicionado . Esto es algo malo, porque en el curso de los cálculos puede perder dígitos significativos debido a la resta de cantidades casi iguales.
¿Cómo puede saberlo? El número de condición \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | es la medida teórica. El mejor valor es 1, cuanto más grande, peor. Pero no es tan fácil de calcular. Una forma práctica de hacerlo es tomar una pequeña perturbación aleatoria de su lado derecho y comparar las dos soluciones. Si difieren significativamente, tiene un sistema mal acondicionado.