Mejor respuesta
Puedo entender que quiera una respuesta aquí. Tradicionalmente, un pliegue es el valor de una cosa; ergo, un aumento de una vez es del 100\%. Sin embargo, esto produce confusión ya que la mayoría de la gente considera que un interés doble es el doble del valor (200\%) de una cosa: la definición popular. Incluso el Diccionario de Matemáticas de Collins define «-fold» para significar «veces», ya que en «dos veces» es igual a «dos veces», que es igual a doble. Algunos científicos usan «pliegue» como sinónimo del término matemático » veces, «como en» tres veces más grande «significa» tres veces más grande «. Sin embargo, otros insisten en usar «pliegue» tradicionalmente para describir el valor total de una cosa; por lo tanto, «60 es una vez más que 30».
Estoy seguro de que esto no le facilita la decisión (la versión popular sobre el uso más tradicional), pero para evitar malas interpretaciones, en el uso diario, es posible que desee ceñirse a la definición popular.
Respuesta
Pregunta interesante. Vamos a desglosarla.
- Por qué se calculan los determinantes ?
Francamente, no hay una sola razón en la tierra por la que deba calcular un determinante, excepto cuando se pregunta en una prueba de álgebra lineal. Los determinantes se utilizan en la prueba de existencia de una solución a un conjunto de ecuaciones lineales de la forma Ax = b en las que los determinantes juegan un papel importante. Regla de Cramer – Wikipedia
Esta ha llevado a muchas almas equivocadas a la conclusión de que esta regla es una buena manera de calcular dicha solución. No lo es. Déjame explicarte por qué.
2. ¿Por qué se calculan los determinantes de la forma en que se calculan?
Lo primero que aprende en álgebra lineal 101 es expandir un determinante a lo largo de una fila o columna, que se puede formular de forma recursiva como
\ Displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
en el que A\_ {kj } es la submatriz que se obtiene al descartar la k-ésima fila y la j-ésima columna de A. Esto está bien si su matriz es 3 \ times3 o 4 \ times 4, se vuelve tediosa cuando n = 5 y se puede deshacer para cualquier n mayor . Pero tenemos computadoras, ¿no es así? Todo bien. Hagamos esto científicamente y hagamos un recuento de operaciones. Sea T\_n el número de operaciones para calcular un determinante n \ veces n de esta manera. En un contexto de álgebra lineal, la “operación” es una multiplicación seguida de una suma. Entonces claramente
T\_n = nT\_ {n-1}
¡Oye! ¿No te suena esto? Sí, esta es la función de facultad y T\_n = n !. Ahora bien, si tuviéramos una computadora que puede hacer 10 ^ {20} operaciones por segundo, lo que podría suceder si las computadoras cuánticas se vuelven operativas y tuviéramos que calcular un determinante de 100×100 por expansión de fila o columna, necesitaríamos
100! = 9.3326E157
operaciones. Y 100 \ times100 no es excesivo, las aplicaciones industriales a menudo llegan a millones. Ahora, un año tiene 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 segundos, por lo que no podemos hacer más de 3.2E27 operaciones por año, que es solo una gota al océano de 9.3E157. Más específicamente, necesitaríamos como 3E130 años y, en vista del hecho de que la edad estimada del universo es 13,8E9 (6E3 si eres un creacionista) años, nos faltan un par de años.
Conclusión: esta no es una buena forma de calcular un determinante.
Y para calcular una solución mediante la regla de Cramer, necesitaría calcular 101 determinantes. ¡La regla de Cramer no r00l en absoluto! Es de valor teórico, no práctico.
Es por eso que debe usar una descomposición LU ( descomposición LU – Wikipedia ) para calcular un determinante y como beneficio agregado también le da la solución a su sistema Ax = b. El recuento de operaciones para LU es \ frac13n ^ 3. Para obtener un determinante de eso, multiplica todos los elementos diagonales de U. (\ cal O (n)). Para obtener la solución de su sistema Ax = b requiere otras n ^ 2 operaciones. Así que todo eso requeriría operaciones 3.34E5 y estaríamos listos en 10 ^ {- 14} segundos jiffy.
Sheldon Axler escribió un texto de álgebra lineal que no usa ningún determinante https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
y estoy seguro de que Alon Amit (“las matrices apestan, los operadores gobiernan”) lo aprobaría.