Mejor respuesta
Simple…. 🙂
A menudo usamos esto como un resultado directo.
Respuesta
Desafortunadamente, ni la serie de Taylor ni las respuestas basadas en reglas de LHopital pueden calificarse como pruebas rigurosas porque introducen un argumento circular: ambos métodos requieren el cálculo de una derivada de la función f (x) = \ sin (x), para calcular cuál debemos saber a qué es igual el límite en cuestión. En otras palabras, mientras buscamos A, introducimos B, pero para encontrar B debemos saber qué es A.
No es tan difícil construir una demostración lo suficientemente rigurosa que pase como aceptable en un » Curso de Análisis Matemático ”. Aquí hay una versión: en el dibujo de abajo, \ triangle AOC es un triángulo isósceles contenido dentro del sector circular OApC que, a su vez, está contenido dentro del triángulo rectángulo OAB. El segmento de línea AB es perpendicular al rayo OA:
De la Proposición 16 del Libro 3 de Euclid «s» Elements «sigue que las áreas cuadradas de los objetos anteriores están ordenadas por tamaño de la siguiente manera:
A \_ {\ triangle OAC} \_ {OApC} \_ {\ triangle OAB}
En esa proposición Euclides (básicamente) demuestra que es imposible apretar otra línea recta entre AB y la circunferencia del círculo q en el punto A de tal manera que esa nueva línea recta se coloque entre AB y p. A la inversa, significa que cualquier línea recta que corta el ángulo recto OAB necesariamente cae dentro del círculo, como lo hace el signo de línea AC arriba. Luego, usando las fórmulas para las áreas de un triángulo y de un sector circular y el hecho de que el ángulo AOC se mide en radianes, tenemos :
\ frac {OA \ times CH} {2} frac {\ alpha\_n \ times r ^ 2} {2} frac {OA \ times AB} {2}
r ^ 2 \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n \ times r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan (\ alpha\_n)
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n tan (\ alpha\_n)
Observe la desigualdad más a la izquierda:
\ sin (\ alpha\_n) alpha\_n
como la usaremos mas tarde. A continuación, tomamos que 0 alpha\_n frac {\ pi} {2} y eso nos da derecho a dividir la última doble desigualdad por \ sin (\ alpha\_n):
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin (\ alpha\_n)} frac {1} {\ cos (\ alpha\_n)}
Dado que \ cos (x) es una función par y f (x) = x y \ sin (x) son impares, los valores recíprocos de la desigualdad anterior son:
1> \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n}> \ cos (\ alpha\_n)
Multiplica lo anterior por -1 y voltea los signos de desigualdad:
-1 \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} \ cos (\ alpha\_n)
Agregue 1 a lo anterior:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – \ cos (\ alpha\_n)
Pero:
1 – \ cos (\ alpha\_n) = 2 \ sin ^ 2 (\ frac {\ alpha\_n} {2}) \ sin (\ frac {\ alpha\_n } {2}) \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
debido a la desigualdad «más a la izquierda» que hemos probado anteriormente (ver arriba). Ahora:
1 – \ cos (\ alpha\_n) alpha\_n
y eso significa que:
0 – \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} alpha\_n
Debido a que asumimos anteriormente que 0 alpha\_n frac {\ pi} {2}, podemos usar los valores absolutos en las desigualdades anteriores:
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
que se ajusta a la definición \ epsilon, \ delta de un límite: para cualquier \ epsilon> 0 elegimos \ delta = min (\ epsilon, \ frac {\ pi} {2}) :
| \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n – 0 | delta
Ahora, si estuviéramos estudiando no una variante «continua» sino una secuencia discreta, entonces estableceríamos \ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} y tendríamos:
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
desde donde:
n> \ frac {\ pi} {2 \ épsilon}
y finalmente:
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existe N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad: \ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin (\ alpha\_n)} {\ alpha\_n} – 1 | epsilon
En cualquier caso, significa que:
\ lim\_ {x \ to 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1
Observe que como una ventaja adicional en esta línea de razonamiento probamos automáticamente que:
\ lim\_ {x \ to 0} \ cos (x) = 1
Y de la desigualdad deducida anteriormente \ sin (\ alpha\_n) alpha\_n se sigue que tan pronto como | \ alpha\_n – 0 | delta tenemos | \ sin (\ alpha\_n) – 0 | epsilon, lo que significa que:
\ lim\_ {x \ to 0} \ sin (x) = 0
De donde se sigue inmediatamente que podemos calcular el siguiente límite:
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan (x) = 0
(se deja como ejercicio para el lector), etc.
Para celebrar nuestro Victoria, calculemos el siguiente límite que tiene todo que ver con la expresión de trabajo de esta pregunta:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos ( \ frac {\ phi} {2 ^ k})
donde \ phi es un número arbitrario (real) distinto de cero.Escriba los primeros términos del producto:
\ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac { \ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
Comienza con la identidad de medio ángulo:
\ sin (\ phi) = 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ sin (\ frac {\ phi} {2})
Aplicar de nuevo a \ sin (\ frac {\ phi} {2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 2 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2})
Y de nuevo, a \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}):
\ sin (\ phi) = 2 ^ 3 \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ 3})
Y así sucesivamente. Vemos que después de n tales sustituciones tendremos:
\ sin (\ phi) = 2 ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 2}) \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ 3}) \ dots \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ n}) \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})
De donde se sigue que nuestro largo producto de cosenos se puede representar como:
\ frac {\ sin (\ phi)} {2 ^ n \ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})} = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin (\ frac {\ phi} {2 ^ n})}
Pero ya sabemos cuál es el límite anterior y, por lo tanto:
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos (\ frac {\ phi} {2 ^ k}) = \ frac {\ sin (\ phi)} {\ phi}