¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 200 se divide entre 18?


Mejor respuesta

Siempre puede intentar calcular algunos exponentes más pequeños y encontrar un patrón repetido para los restos . Calculemos el resto de 2 ^ n dividido por 18, comenzando con n = 1:

  • n = 1, 2 ^ 1 = 2, el resto es 2;
  • n = 2, 2 ^ 2 = 4, el resto es 4;
  • n = 3, 2 ^ 3 = 8, el resto es 8;
  • n = 4, 2 ^ 4 = 16 , el resto es 16;
  • n = 5, 2 ^ 5 = 32, el resto es 14;
  • n = 6, 2 ^ 6 = 64, el resto es 10;
  • n = 7, 2 ^ 7 = 128, el resto es 2;
  • n = 8, 2 ^ 8 = 256, el resto es 4;
  • \ cdots \ cdots

De hecho, cuando los exponentes aumentan, no es necesario calcular las potencias reales de 2; en su lugar, simplemente multiplica el resto anterior por 2, luego encuentra el nuevo resto de ese resultado. Está claro que el resto se repite cada 6 números. Entonces, para el exponente 200, solo averiguamos el resto cuando 200 se divide por 6, que es 2. Por lo tanto, el resto cuando 2 ^ {200} se divide por 18 es lo mismo que el resto de 2 ^ 2, que es igual a 4.

Respuesta

2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}

\implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}

\ implica (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv -32 \ pmod {18}

\ implica 2 ^ {20} \ equiv 4 \ pmod {18}

\ implica (2 ^ {20}) ^ 5 \ equiv 4 ^ 5 \ pmod {18}

\ implica (2 ^ {100}) \ equiv 1024 \ pmod {18}

\ implica (2 ^ {100}) \ equiv -2 \ pmod {18}

\implica (2 ^ {200}) \ equiv (-2) ^ 2 \ pmod {18}

\ implica (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}

\ text {Por tanto, 4 es el resto cuando} \, 2 ^ {200} \, \ text {se divide por 18}

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