Mejor respuesta
En pocas palabras, Invariante es una propiedad que no cambia incluso después de alguna transformación o cualquier operación matemática. Wikipedia ofrece un muy buen ejemplo:
Tomemos el caso de la ley gravitacional de Newton. La fuerza de gravedad entre dos cuerpos será la misma en cualquier parte del universo. La fuerza de gravedad entre estos dos cuerpos será la misma hoy que hace mil años. Independientemente de la dirección a la que mueva estos cuerpos, la fuerza es la misma. Este es un ejemplo de invariante.
Las invariantes de tensión son las propiedades de una matriz de tensión que no se ven afectadas por la transformación. El estado de tensión se puede representar en términos de una matriz. El componente de tensión hidrostática de esta matriz sería igual al promedio de los términos diagonales de la matriz (tensiones principales). La suma de estos términos diagonales es lo que se llama la Primera Invariante (también llamada Traza de la Matriz).
Entonces, podemos dividir un estado de matriz como una Suma de la Hidrostática y la Desviadora tensiones-
Para determinar los valores Eigen y los vectores Eigen, usamos la ecuación | A – Lamda I | * V = 0. De manera similar, para un estado de estrés, usamos la siguiente ecuación que es similar a la forma anterior:
nj = vector propio, Sigma = valor propio, delta ij = La matriz de identidad también llamada delta de Kronecker. Esta matriz de identidad = 1 en la posición de las diagonales donde i = j y es igual a 0 en todos los demás lugares.
Ahora, podemos establecer la siguiente forma
Si recuerda correctamente, este es el componente desviador de la matriz de estrés. De la ecuación característica a continuación, podemos ver que las invariantes son los coeficientes de los términos de estrés en la ecuación característica.
Donde, I1, I2 e I3 son las invariantes de la matriz de tensiones.
a. I1 es la traza de la matriz y es la suma de los términos diagonales. Primera invariante.
b. I2 es la suma de los menores de la matriz. Segunda invariante.
c. I3 = Valor del determinante de la matriz. Tercer invariante.
T Estos son todos invariantes porque a pesar de la transformación realizada en la matriz, estos valores seguirán siendo los mismos.
En los pasos anteriores, establecimos la matriz desviadora y descubrimos que es J1 y se encontró que este J1 es igual a 0. Cuando J1 = 0, entonces la suma de los términos diagonales = 0. Entonces, el promedio de esto (también llamado estrés hidrostático = 0. Entonces, el estrés hidrostático del componente desviador es igual a 0, lo que significa que es un estado de CORTE PURO.
Esfuerzo desviador e invariantes
Respuesta
El estrés generalmente se representa como un tensor simétrico de segundo orden, que se puede considerar como una matriz de 3 * 3. Ahora cualquier tensor tiene algo llamado los invariantes que no cambian con un cambio de base. Hay tres principales invariantes para un tensor de segundo u orden (tensión, deformación, momento de inercia, todos caen bajo esto). Estos siguen siendo los mismos incluso si el b asis se cambia. Para entender lo que queremos decir con un cambio de base, piense en un problema de resistencia elemental del material, donde tratamos de encontrar las tensiones normales y cortantes resultantes en un plano inclinado a un conjunto dado de ejes de coordenadas (nuestra base). Podemos hacer todas las cosas del círculo de Mohr y encontrar los componentes de tensión a lo largo de la nueva base (nuevos ejes de coordenadas que están a lo largo y perpendiculares a la pendiente). Entonces, si considera el tensor de tensión anteriormente y ahora, ha cambiado elemento por elemento (aunque ambos son simétricos) pero las siguientes cantidades siguen siendo las mismas
- Traza de matrices
- Traza del cofactor de las matrices
- Determinante de las matrices.
Estos son tres «invariantes» principales.