Mejor respuesta
T\_n (x), el n-ésimo polinomio de Chebyshev del primer tipo, satisface
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Estamos detrás de T\_ {10} (x). Conocemos los primeros:
T\_0 (x) = 1 \ quad porque \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad porque \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad porque \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad porque \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Podemos calcular las potencias de dos fácilmente,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
En general T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)) que sigue bastante rápido de \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
El T\_n (x) satisface la recurrencia
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Dado que T\_0 (x) y T\_1 (x) tienen coeficientes enteros, la recurrencia nos dice que todos los T\_n (x) tienen coeficientes enteros.
Derivemos la recurrencia . Comenzamos probando una identidad trigonométrica, una fórmula de suma de ángulos alternativa que solo usa coseno:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Ahora,
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
o dejando x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Ahora podemos calcular T\_ {10} (x) con bastante facilidad,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Así que finalmente obtenemos nuestra respuesta,
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Respuesta
Deje x = theta para facilitar mi escritura.
Recuerde que la multiplicación es repetida d suma.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Una forma de encontrar cos (10x) es aplicar el identidad para el coseno de la suma de dos ángulos 9 veces, junto con la identidad similar para el seno.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Ahora reemplace el 9x con 8x + x
y luego aplique cuidadosamente las identidades nuevamente sin perder el cos (x) y el sin (x) que ya están en el problema.
Luego, dondequiera que vea 8x, reemplácelo con 7x + x, y aplique las identidades nuevamente.
Continúe… ..
Es posible que desee avanzar hacia arriba en lugar de hacia abajo.
Busque cos (3x), luego cos (4x), etc.
Mientras trabaja, pregúntese si podría haber una forma más rápida.
Una vez que tengamos una fórmula para
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) – sin (x) sin (x)
puede intentar pensar
de cos (4x) como cos (2x + 2x)
y cos (8x ) como cos (4x + 4x).
Entonces cos (10x) como cos (8x) + cos (2x).
Puede También quiero simplificar el resultado para cos (2x), y posiblemente usar una identidad pitagórica para mantener el problema en términos de solo coseno sin ningún seno en el resultado.