Mejor respuesta
Sé lo que estás pidiendo, pero aprende las convenciones de escritura. Debería escribirse cos (1/2).
Para responder a su pregunta, deberá utilizar una calculadora aquí. No hay forma de que pueda calcular esto a mano. Otra cosa es el valor en radianes o grados. Daré ambos aquí. Es 0.99996 en grados y 0.8775 en radianes.
Respuesta
Muchas personas se enojan cuando alguien afirma que 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . No soy una de esas personas, pero sí creo que si empiezas a hacer un reclamo como este, debes tener muy claro en tu mente qué es. eso quiere decir.
Por lo general, cuando define una suma infinita de elementos a\_n, la define como:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Si el límite existe y tiene un valor finito, decimos que la suma infinita converge , y decimos que es igual a dicho límite. Así, por ejemplo:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Sin embargo, hay muchas sumas infinitas que divergen , y normalmente no les asignamos un valor. Un ejemplo de esto:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {no existe}
También se puede compruebe que:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
que no «t converge — por lo tanto, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots es divergente, por lo que la definición de límite habitual no le asigna un valor.
Sin embargo, existen formas en las que puede ampliar esta definición. Es decir, puede encontrar formas de asignar un valor finito a series divergentes que aún concuerden con los valores que obtenemos de la manera habitual para las series convergentes.
El problema es que, dado que estos métodos, por su propia naturaleza, en realidad no corresponden a nada físico *, por lo que lo mejor que podemos esperar es que tales métodos tengan buenas propiedades formales. En particular, nos gustaría solicitar que satisfagan los siguientes axiomas:
1.) (Regularidad) Si \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n es convergente, entonces el método de suma concuerda con el método habitual de tomar el límite.
2.) (Linealidad) Si \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A y \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B son sumables , entonces tenemos \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Si r es un número real, entonces \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Estabilidad) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Estos axiomas son bastante útiles. Por ejemplo, muestra que cualquier método de suma que satisfaga estos tres axiomas debe evaluar 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1, ya que:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Note que tanto la linealidad como la estabilidad juegan un papel importante en esta demostración. La estabilidad nos permite «sacar» el 1 al frente, y la linealidad nos permite factorizar el 2.
Cualquier método de suma de este tipo también debe evaluar 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / 2. La prueba es similar:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Sin embargo, habrá series divergentes que no pueden evaluarse mediante ningún método de suma que satisfaga estos tres axiomas. Por ejemplo, suponga que podríamos asignar un valor finito sa la serie 1 + 1 + 1 + \ ldots. Entonces tendríamos:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Vaya. Desafortunadamente, se pone aún peor, porque se sigue de esto que ningún método de suma que satisfaga estos tres axiomas puede evaluar 1 + 2 + 3 + \ ldots tampoco, ya que:
(1 + 2 + 3 + \ ldots ) – (1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (por estabilidad) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (por linealidad)
Entonces, si desea definir un método de suma que evalúe 1 + 2 + 3 + \ ldots, debe descartar linealidad o estabilidad. Hay diferentes enfoques — algunos sacrifican uno, otros sacrifican el otro.
Esto, desafortunadamente, es indicativo de cómo va la suma de series divergentes: tienes muchos métodos diferentes para sumarlas, y no siempre de acuerdo. A menudo están de acuerdo para series importantes, pero si afirma algo como 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12, entonces es mejor que deje absolutamente claro qué método de suma está utilizando.
Como teórico de los números, mi enfoque favorito es la regularización de la función zeta. El ejemplo básico de esto es este: considere la función zeta de Riemann \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Esta fórmula es solo convergente si la parte real de s es mayor que 1.Sin embargo, existe una forma estándar de extender la función zeta de Riemann para que sea una función en todo el plano complejo (bueno, tiene algunos polos, pero si bien eso es importante, es un problema técnico) — esto se llama analítico continuación, que se obtiene explícitamente al encontrar una ecuación funcional para la función zeta.
Usando la continuación analítica, se encuentra que \ zeta (-1) = -1/12. Pero, si «conecta eso» a su expresión original de la función zeta, obtiene:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
Así es como funciona la regularización de la función zeta: usted asocia una función zeta a su serie , y luego usar la continuación analítica para asociar un valor finito a la serie.
Este es, en muchos sentidos, un juego formal que, si bien es interesante, probablemente no debería pensarse que corresponde a algo tangible.
* Sí, soy consciente de que las series e integrales divergentes se utilizan en los cálculos de la teoría cuántica de campos. Sin embargo, yo diría que tales métodos son una herramienta computacional más que una interpretación física de lo que realmente está sucediendo. Además, en este momento no tenemos un modelo matemáticamente riguroso de la teoría cuántica de campos, por lo que cualquier quimera extraña que no debería ser aún puede ser reinterpretada o eliminada por completo.