Mejor respuesta
La pregunta que hace no tiene sentido. Supongo que es cos (20 °).
Sabemos qué es cos (60 °) y lo bueno es 60 ° = 3 * 20 °.
Sabemos cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) −3cos (θ)
Pon θ = 20 °, en la identidad anterior y asumiendo t = cos (20 °) obtenemos
1 / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Sea p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 y p (1) = 1, implica que p tiene tres raíces reales de los cuales solo uno es positivo (que se encuentra entre 0 y 1).
Como sabemos que cos (20 °) es un número positivo, entonces la raíz positiva del polinomio anterior es el valor de cos (20 °).
Cierta estimación utilizando el método de bisección con 2-3 iteraciones le dará 0,94.
Entonces cos (20 °) = 0,94 (aprox.)
Respuesta
Deberías poder encontrarlo usando la identidad trigonométrica: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Supongo que esto se deriva de la identidad: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), pero se usa dos veces. Para ser honesto, acabo de buscarlo. )
Ahora que sabemos esto, haga x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Luego haz dos sustituciones. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} y y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Y luego con algo de manipulación:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Todo lo que queda es resolver para y. Resolver cúbicos a mano es un fastidio , pero te señalaré aquí: ¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado? Luego, moveré mis manos un poco y lo resolveré aquí: Computational Knowledge Engine
Obtienes 3 soluciones. Uno negativo (incorrecto) los otros dos son aproximadamente .34 y .64.
¿Cuál es? sin (30) = .5, y como sabemos que la función seno aumenta hasta 90 grados, la solución es aproximadamente .34.
Entonces, ¿cuál es la solución exacta? Según Wolfram Alpha:
Esto debería producir un número real, pero no voy a simplificar ese lío para usted .
Basta decir que se puede hacer, pero como era de esperar es un gran dolor de cabeza.