Mejor respuesta
En el círculo unitario, la coordenada x es cos (x).
Tome el límite cuando x se aproxima a 90 grados. Lo que ves es que la coordenada x se acerca a 0 porque el radio se acerca a una línea perpendicular (por lo que no hay componente x)
Toma el límite de la izquierda y es lo mismo.
El triángulo, por supuesto, se rompe.
Aquí hay una imagen de ayuda:
Como puede ver, la línea gris (cosx) se hace cada vez más pequeña.
Eso es. Cos (90) es 0. Eso es 90 grados y no radianes.
Si está en radianes, entonces es algo así como −0,448073616129.
Respuesta
Déjame darte un más complejo respuesta.
Sea, \ frac {A} {2} = x.
Entonces, A = 2x
Tenemos,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Tomemos la fórmula de Eulers,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Si recordamos esta fórmula, entonces podemos entender que,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), ya que solo \ sin es una función impar, f (-x) = – f ( x), y \ cos es par, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Entonces, terminamos con la fórmula.
Además, para \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Donde i es la unidad imaginaria . (i ^ 2 = -1)
Ahora, dejemos de memoria la fórmula para \ cos (2x), (mediante el complemento de x por 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Comencemos a derivar nuestra fórmula.
Comenzando con \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Al expandir, obtenemos,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Ahora, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ times a ^ c = a ^ {b + c},
(Entonces, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Ahora, calculemos \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Si restamos \ sin ^ 2 (\ theta) de \ cos ^ 2 (\ theta), obtenemos,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Cancelamos los menos, en el denominador de \ sin ^ 2 (\ theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Sumando, podemos cancelar -2 + 2 a 0, después de eso obtenemos,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
que es la misma fórmula para \ cos (2x) que comentamos antes. Por lo tanto probado.
Pero, tenemos otra cosa que hacer. Complemento, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
que es la misma fórmula para cos (A)
Entonces, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Gracias por A2A