Mejor respuesta
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; indefinido
En matemáticas, cualquier número dividido por cero no está definido.
Respuesta
Las preguntas de matemáticas se vuelven mucho más fáciles cuando conoces la definición de los términos en cuestión . ¿Cómo se define \ cot (x)? Una vez que sepamos eso, deberíamos poder obtener una respuesta en poco tiempo. Puede que le sorprenda saber que los matemáticos (en un esfuerzo por que los términos sean lo más generales posible) no definen esta función geométricamente, ni la definen en términos de otras funciones «trigonométricas». De hecho, lo definen como Esto usando una representación en serie.
O, para ser más precisos, lo definen usando esa serie para 0 x pi. Para x = 0, \ pi (y cualquier otro múltiplo entero de \ pi), la función no está definida. Luego, amplían la definición para todos los múltiplos no enteros de \ pi notando que la función es periódica con el período \ pi. En otras palabras, \ forall x \ ne n \ pi (para cualquier n \ in \ mathbb Z), decimos que \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Esto nos permite evaluar la función para cualquier otra x en el dominio. Entonces, por ejemplo:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
Y como 0 000-318 \ pi pi, podemos usar nuestra representación en serie para evaluar \ cot (1000-318 \ pi) y, por lo tanto, conocer el valor de \ cot (1000).
Ahora que entendemos la definición de la función, aprendemos dos cosas. Primero, sabemos que SI hay una solución, debe haber infinitas soluciones, ya que para cualquier solución que encuentre, debe ser cierto que n \ pi más que esa solución también es una solución para cualquier n \ in \ mathbb Z. Segundo , sabemos que encontrar una solución significa encontrar un valor de x para el cual la serie infinita es cero. Parece una tarea abrumadora.
Afortunadamente, podemos demostrar que esta representación en serie implica que para 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Entonces, cuando \ cot (x) = 0, también debe ser cierto que \ cos (x) = 0. Eso no es una gran victoria porque la función coseno también se define en términos de una serie infinita, pero es una serie mucho más fácil. Y es una función que la mayoría de la gente entiende lo suficientemente bien como para saber que el único valor de x entre cero y pi para el cual es igual a cero es \ frac \ pi 2. (Probar que el resultado de la serie es un poco de trabajo que gané entramos.)
Entonces aprendemos que x = \ frac \ pi 2 es una solución, y ya hemos demostrado que cada múltiplo entero de \ pi alejado de esta solución también es una solución. Entonces el conjunto de soluciones debe ser:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {para algunos} n \ in \ mathbb Z \}