Mejor respuesta
Es tentador escribir
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Entonces podríamos escribir
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Eso hace que la suma:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
No me gusta mucho esto durante un par de razones. Primero, ignora la pregunta de cuántos valores tiene \ sqrt {i}.
Hemos definido el radical aplicado a un número real como el valor principal, por lo que y = \ sqrt {x} es una función . El valor principal de una raíz cuadrada compleja es más complejo (una regla como el ángulo mínimo no negativo) y no funciona tan bien.
Mi opinión es que la mejor política es decir que tenemos dos raíces cuadradas . \ sqrt {i} tiene varios valores, lo mismo que i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
El segundo problema que tengo con la formulación exponencial es el salto inmediato a las coordenadas polares. Automáticamente tomamos una ruta tortuosa que involucra funciones trascendentales y sus inversas. La raíz cuadrada de un número complejo no requiere eso. Podemos comprobar
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
donde necesitamos un \ textrm no estándar {sgn} (0) = + 1.
Tenemos a = 0, b = 1 entonces
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
No se necesitan funciones de activación. De manera similar, a = 0, b = -1 da
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
La suma parece tener cuatro valores posibles:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Calculemos los valores de los paréntesis.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
así que sí tenemos cuatro valores, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Podemos escribir esto como
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad para el entero k
Hay otra cuestión a considerar. A veces, cuando escribimos expresiones que parecen ser conjugados, significa que cuando se consideran múltiples valores, se mantiene la relación conjugada. Un ejemplo es el cúbico deprimido:
x ^ 3 + 3px = 2q tiene soluciones
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Cada una de esas raíces cúbicas tiene tres valores sobre los números complejos. Pero el cúbico en sí solo tiene tres soluciones. Entonces, si bien podríamos sentir la tentación de interpretar esta expresión como nueve valores diferentes, sabemos que debe ser solo tres. Las dos raíces cúbicas están destinadas a ser conjugados, por lo que deben emparejarse como tales.
En esta interpretación, siempre estamos agregando conjugados para obtener las soluciones reales:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} o (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } que es \ pm \ sqrt {2}.
Finalmente, si interpretamos el radical como valor principal, obtenemos \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} en el primer cuadrante, y debemos elegir entre el segundo y el cuarto cuadrante para el valor principal de \ sqrt {-i}. La regla del «ángulo mínimo positivo» sugiere el segundo cuadrante, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} entonces
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Un poco de lío, todas estas diferentes interpretaciones.
Responder
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {y} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega es la tercera raíz de la unidad: z ^ 3 = 1.
Las raíces de esta ecuación son: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Tenemos: u ^ 3 = 2 + 2i y (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Entonces:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {con} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
Entonces:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Obtenemos:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ texto {o} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ texto {o} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3