Mejor respuesta
Si no está pescando, supongo que quiere el valor exacto de \ sin 38. (¿Por qué? Quién sabe.) Describiré cómo llegar a ese valor exacto. Usamos dos afirmaciones. Si conocemos el valor exacto de \ sin x, entonces podemos calcular el valor exacto de \ sin nx para todos los enteros n. Además, si conocemos el valor exacto de \ sin x, entonces podemos calcular el valor exacto de \ sin \ frac {x} {3}.
Lo anterior significa que, si encontráramos \ sin 1, entonces podríamos encontrar \ sin N para cualquier número entero N.
Así que probamos las afirmaciones:
Aserción 1 : Si conocemos el valor exacto de \ sin x, entonces podemos encontrar el valor exacto de \ sin nx, para el entero positivo n. (Siguen los valores negativos).
Prueba : usamos inducción en n. Obviamente, la afirmación es cierta para n = 1. Antes de continuar, observe que el conocimiento de \ sinx implica el conocimiento de \ cos x. Ahora, \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x y hemos terminado.
Afirmación 2 : Si conocemos el valor exacto de \ sin x, entonces podemos encontrar el valor exacto de \ sin \ frac {x} {3}.
Prueba : Este es más interesante. Para el argumento, sea \ sin \ frac {x} {3} = a. Ahora \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} o 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 donde sabemos \ sin x. Dado que es un cubo, se puede resolver exactamente.
Conocemos \ sin 36 y \ sin 30, por lo que conocemos \ sin 6 y, por tanto, \ sin 3 y finalmente \ sin 1.
Respuesta
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0.2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0.2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2) -0.2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0.2588 ^ 2)) / 2)
S0 va.