Mejor respuesta
Queremos determinar el valor de \ tan 18 ^ o.
Sea \ alpha = 36 ^ o.
Entonces, tenemos, 5 \ alpha = 180 ^ o \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2 \ alpha = 180 ^ o-3 \ alpha.
\ Flecha derecha \ qquad \ tan 2 \ alpha = – \ tan 3 \ alpha.
\ Flecha derecha \ qquad \ frac {2 \ tan \ alpha} {1- \ tan ^ 2 \ alpha} = – \ izquierda (\ frac {3 \ tan \ alpha- \ tan ^ 3 \ alpha} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right) = – \ left (\ frac {\ tan \ alpha (3- \ tan ^ 2 \ alpha)} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right).
\ tan \ alpha = \ tan 36 ^ o \ ne 0.
\ Rightarrow \ qquad \ frac {2} {1- \ tan ^ 2 \ alpha} = – \ left (\ frac {3- \ tan ^ 2 \ alpha} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right).
\ Rightarrow \ qquad 2-6 \ tan ^ 2 \ alpha = -3 + 4 \ tan ^ 2 \ alpha – \ tan ^ 4 \ alpha.
\ Rightarrow \ qquad \ tan ^ 4 \ alpha -10 \ tan ^ 2 \ alpha + 5 = 0.
\ Flecha derecha \ qquad \ tan ^ 2 \ alpha = 5 \ pm \ sqrt {25-5} = 5 \ pm \ sqrt {20}.
Dado que 0 tan ^ 2 36 ^ o , consideraremos solo la raíz que sea menor que 1.
\ Rightarrow \ qquad \ tan ^ 2 \ alpha = 5- \ sqrt {20}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ alpha = \ tan 36 ^ o = \ sqrt {5- \ sqrt {20}}.
Sea \ beta = 18 ^ o.
\ Rightarrow \ qquad \ alpha = 2 \ beta.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 2 \ beta = \ sqrt {5- \ sqrt {20}} = k.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 2 \ beta = \ frac {2 \ tan \ beta} {1- \ tan ^ 2 \ beta} = k.
\ Rightarrow \ qquad 2 \ tan \ beta = kk \ tan ^ 2 \ beta \ qquad \ Rightarrow \ qquad k \ tan ^ 2 \ beta + 2 \ tan \ beta-k = 0.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ beta = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1 + k}} {k} = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1+ \ sqrt {5- \ sqrt {20}}}} {\ sqrt {5- \ sqrt {20}}} = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1+ \ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}} {\ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}
Desde 0 \ tan 18 ^ o , consideraremos solo la raíz positiva.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ beta = \ tan 18 ^ o = \ frac {-1+ \ sqrt {1+ \ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}} {\ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}} = 0.32492.
Respuesta
Reordenando la pregunta para un cálculo más fácil.
Q: tan (10) -tan (50) + tan (70) = [tan (70) -tan (50)] + tan (10)
Dividamos la pregunta en dos partes y luego procedamos.
- Tan (70) -tan (50)
- Resultado de 1 + tan (10)
Necesitamos conocer las identidades:
- Tan (A + B) = \ frac {tan ( A) + tan (B)} {1-tan (A) tan (B)}
- Tan (AB) = \ frac {tan (A) -tan (B)} {1 + tan ( A) tan (B)}
Paso 1:
Tan (70) -tan (50) = tan (60 + 10) -tan (60-10 ) = [\ frac {tan (60) + tan (10)} {1-tan (60) * tan (10)}] – [\ frac {tan (60) -tan (10)} {1 + tan ( 60) * tan (10)}]
Tomando LCM
Tan (70) -tan (50) = \ frac {(tan (60) + tan (10)) * (1 + tan (60) * tan (10)) – (tan (60) -tan (10)) * (1-tan (60) * tan (10))} {1 ^ 2- (tan (60) * tan (10)) ^ 2} = \ frac {(√3 + tan (10)) * (1 + √3 * tan (10)) – (√3-tan (10)) * (1-√3 * tan (10))} {1 ^ 2- (√3 * tan (10)) ^ 2} = \ frac {(√3 + 3tan (10) + tan (10) + √3tan ^ 2 (10) – √3 + 3tan (10) + tan (10) -√3tan (10)} {1 ^ 2- (√3 * tan (10)) ^ 2} = \ frac {8 * tan (10)} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2 (10)}
Paso 2:
[tan (70) -tan (50)] + tan (10) = [\ frac {8 * tan (10)} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2 (10)}] + tan (10)
= \ frac {8 * tan (10) + tan (10) -3 * tan ^ 3 (10)} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2 (10)}
= 3 * \ frac {3 * tan (10) + tan ^ 3 (10)} { 1 ^ 2-3 * tan ^ 2 (10)}
= 3 * tan (3 * 10) [usamos la identidad tan3A = \ frac {3tana – tan ^ 3a} {1-3tan ^ 2a}]
Por lo tanto, tenemos
tan (10) -tan (50) + tan (70) = 3 * tan (30)
= 3 * \ frac {1} {√3}
= √3
¡Feliz matemática!