Mejor respuesta
Si no queremos usar las tablas trigonométricas, podemos obtener un valor aproximado de \ tan 27 ^ o usando la expansión de Taylor de \ tan x.
La serie de Taylor de una función f (x) de valor real o complejo, que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a, está dada por
f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, donde f ^ {(n)} (a) es el valor de la n ^ {th} derivada en x = a.
Tenga en cuenta que el ángulo debe expresarse en radianes.
Sea f (x) = \ tan x y a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} radianes.
\ Rightarrow \ qquad f «(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3} y,
\ qquad f «» (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Queremos el valor de \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Flecha derecha \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Luego, usando solo los dos primeros términos de la serie de Taylor, obtenemos ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f «(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
El error en este valor es -0.3902 \\%.
Usando solo los primeros tres términos de la serie de Taylor, obtenemos,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f «(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f «» (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Flecha derecha \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592.
El error en este valor es -0.1831 \\%.
Si queremos mayor precisión podemos usar más términos.