Mejor respuesta
La carga en 1 protón es 1,6 x 10 ^ -19C. El electrón tiene la misma magnitud, pero va en la dirección opuesta, por lo tanto, un signo negativo frente a él: -1.6 x 10 ^ -19C
Respuesta
TL; DR El electrón obtiene su carga al acoplarse al campo electromagnético. Creemos que la fuerza de este acoplamiento (magnitud de la carga) debe ser tal que cancele precisamente las otras cargas en su generación.
¡Hola! Buena pregunta.
Me gustaría asumir cierta familiaridad por parte del lector con el cálculo mientras respondo esta pregunta, específicamente la diferenciación. Si mi suposición es ignorante o falsa, puede que simplemente tenga que confiar en mis manipulaciones matemáticas.
Esta discusión no abordará las cargas de los bosones vectoriales pesados que median la interacción débil. Eso está lejos del alcance de esta pregunta.
Existe un concepto fundamental en física que aparentemente gobierna la evolución de la naturaleza, el Principio de Mínima Acción. Básicamente dice que hay una cantidad en cada sistema llamado la acción que es estacionaria bajo variaciones de primer orden. La acción, S, se define de la siguiente manera:
S = \ int\_ {t\_ {1}} ^ {t\_ {2}} Ldt,
donde la «L» mayúscula es el lagrangiano único del sistema. El principio de mínima acción se puede establecer matemáticamente:
\ delta S = \ delta \ int\_ {t\_ {1}} ^ { t\_ {2}} Ldt = 0
A partir de esto, se puede derivar un conjunto de ecuaciones diferenciales llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange:
\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ izquierda (\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ punto {q} \_ {i}} \ derecha) = \ frac {\ parcial L} {\ parcial q\_ {i}} .
Una de estas ecuaciones existe para cada coordenada generalizada q\_ {i}. Si se conoce el Lagrangiano, entonces estas ecuaciones pueden evaluarse para dar un conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento que describen el tiempo e evolución del sistema. Dado un conjunto de condiciones iniciales, el comportamiento es único.
Hasta ahora, la discusión ha sido bastante clásica. El origen de la carga, sin embargo, es un asunto del reino cuántico. Las energías a esta escala también requieren consideraciones relativistas. Por tanto, pasamos a la teoría cuántica de campos. Nos gustaría usar el principio de mínima acción aquí, pero la relatividad nos enseña a tratar el espacio y el tiempo por igual, por lo que las derivadas deben reflejar eso. Las ecuaciones de Euler-Lagrange se transforman de la siguiente manera:
- El lagrangiano L se convierte en la densidad lagrangiana \ mathcal {L}, que como es de esperar, es el lagrangiano por unidad de volumen.
- Las derivadas del tiempo se convierten en cuatro gradientes, \ parcial \_ {\ mu}.
- Las «coordenadas» se convierten en «campos», \ phi\_ {i}
La generalización relativista de las ecuaciones de Euler-Lagrange es, entonces,
\ parcial \_ {\ mu} \ izquierda (\ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ parcial \ izquierda (\ parcial \_ {\ mu} \ phi\_ {i} \ derecha)} \ derecha) = \ frac {\ parcial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi\_ {i}}.
La densidad lagrangiana para cualquier fermión de spin-1/2 libre viene dada por el Lagrangiano de Dirac (Densidad lagrangiana – A partir de ahora, la término «Lagrangiano» se referirá a la densidad.):
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu } \ parcial \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi.
\ psi es el campo de espinor del fermión en cuestión, y \ gamma ^ {\ mu} es una matriz de Dirac (si no está familiarizado con estos, le imploro que haga referencia la entrada correspondiente de Wikipedia). Si este lagrangiano se conecta a la ecuación generalizada de Euler-Lagrange, se puede encontrar la ecuación de Dirac de partícula libre (en realidad, depende del campo con el que decidamos trabajar; el espinor adjunto nos dará la ecuación de Dirac, mientras que el en sí misma producirá el adjunto de la ecuación de Dirac).
Ahora pensemos en qué simetrías tiene esta ecuación. ¿Cómo podemos transformar el campo de espinor para que las ecuaciones de movimiento no cambien? resulta que el Dirac Lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales U (1), aquellas de la forma
\ psi \ rightarrow e ^ {i \ theta} \ psi, o \ bar {\ psi} \ rightarrow e ^ {- i \ theta} \ bar {\ psi}.
Es un ejercicio simple pero importante para demostrar esto. Esto rota todo el espacio en algún ángulo \ theta, pero eso no «realmente significa mucho, ¿verdad? Girar todo el espacio equivale a buscar en el mismo sistema una posición diferente. Vamos a imponer una condición un poco más fuerte, ¿de acuerdo? Supongamos que el ángulo es una función de la posición en el espacio-tiempo,
\ theta \ rightarrow \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right ),
para que apliquemos una transformación de fase local :
e ^ {i \ theta} \ rightarrow e ^ {i \ theta \ left (x ^ {\ mu} \ right)}.
¡Esto crea un problema! Hay un nuevo término como resultado de la derivada del ángulo:
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} – \ hbar c \ left (\ parcial \_ {\ mu} \ theta \ right) \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi
¿Cómo resolveremos esto?
Bueno, para simplificar, introduzcamos una nueva variable,
\ lambda \ left (x \ right) = – \ frac {\ hbar c} {q} \ theta \ left (x \ right),
donde q es una especie de factor de escala. El lagrangiano se convierte en
\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} + \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) \ partial \_ {\ mu } \ lambda \ left (x \ right).
Si exigimos una invariancia de calibre U (1) local, debemos llegar a algo para dar cuenta del término adicional que introdujimos. Esto, naturalmente, nos alejará del gratis Dirac Lagrangiano. Supongamos que agregamos un término de la forma – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}, para algunos vector campo A \_ {\ mu} que se transforma en A \_ {\ mu} \ rightarrow A \_ {\ mu} + \ partial \_ {\ mu} \ lambda. Este término exactamente compensará el término adicional en nuestro Lagrangiano invariante de fase local. Sin embargo, este nuevo término incluye nuestro campo de espinor fermiónico y el nuevo campo vectorial; es un término de interacción. Requerimos un término de «campo libre» para un lagrangiano completo. Como campo vectorial, el Proca Lagrangiano debe describir A \_ {\ mu} para bosones de espín-1:
\ mathcal {L} = – \ frac {1} {16 \ pi} F ^ { \ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} + \ frac {1} {8 \ pi} \ left (\ frac {m\_ {A} c} {\ hbar} \ right) ^ {2} A ^ {\ mu} A \_ {\ mu}, donde
F ^ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (\ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} – \ parcial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} \ right).
Sin embargo, surge otro problema: mientras que el primer término es localmente invariante, el segundo término es no . ¡Entonces el campo vectorial debe carecer de masa! Ahora agregando el Lagrangiano de Dirac libre, el Lagrangiano de Proca para un campo vectorial sin masa y el término de interacción, obtenemos el Lagrangiano electromagnético completo:
\ mathcal {L} = \ bar {\ psi} \ left [ i \ left (\ hbar c \ right) \ gamma ^ {\ mu} \ parcial \_ {\ mu} -mc ^ {2} \ right] \ psi- \ frac {1} {16 \ pi} F ^ {\ mu \ nu} F \_ {\ mu \ nu} – \ left (q \ bar {\ psi} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) A \_ {\ mu}.
El primer término representa fermiones de giro libre-1/2. El segundo representa los bosones de espín-1 libres que interactúan con los fermiones por medio del tercer término. Estos bosones sin masa son, al parecer, fotones, que median las interacciones electromagnéticas entre partículas cargadas. El campo vectorial A \_ {\ mu} es el potencial electromagnético, que era solo un truco matemático en la electrodinámica clásica, pero aquí es una cantidad más fundamental. Y como habrás adivinado, F ^ {\ mu \ nu} es el tensor de campo, que contiene perfectamente toda la información sobre los campos eléctricos y magnéticos.
Ahora volvamos a la pregunta original: ¿qué da un electrón su carga? ¿Recuerda q, ese pequeño factor de escala que mencioné antes? Eso resulta ser el cargo de los fermiones que interactúan. ¿Notas cómo solo aparece en el término de interacción? La carga de una partícula es precisamente la fuerza con la que se acopla a los fotones, los cuantos del campo electromagnético. Pero, ¿por qué es «negativo»? Eso es un poco más complicado de explicar. Aproximadamente, las teorías de unificación estándar requieren que las cargas en cada generación sumen cero para cancelar ciertas anomalías, infinitos que aparecen en los cálculos de cantidades que deben ser finitas. Entonces, para dos quarks (carga 2/3 y -1/3), cada uno de los tres «colores» de la fuerza fuerte, un leptón neutro (los neutrinos) y un leptón cargado (por ejemplo, el electrón, carga -1), obtenga 3 * (2/3 + -1/3) +0+ -1 = 0. Compruebe. La carga de los electrones (muones, tau) debe cancelar exactamente la suma de todos los demás fermiones en su generación. Todavía hay muchas preguntas sobre los detalles, pero muchas GUT existentes postulan que la asignación de cargas a partículas elementales es parte de alguna simetría aún no observada.
En resumen : el electrón obtiene su carga al acoplarse al campo electromagnético. que la fuerza de este acoplamiento (magnitud de la carga) debe ser tal que cancele con precisión las otras cargas en su generación.