Mejor respuesta
La derivada «sustancial», también llamada derivada «total» o derivada «convectiva», no es realmente una derivada diferente, sino que es una derivada de una función diferente .
Sea \ lambda (x, t) una función dada de espacio y tiempo. La diferenciación de \ lambda con respecto al tiempo, manteniendo fija la variable de espacio, produce la derivada parcial del tiempo habitual. Ahora considere una “función compuesta” g (t) = \ lambda (X (t), t), es decir, evaluamos \ lambda a lo largo de las curvas X (t) en el espacio trazada por una variable escalar t. La derivada de g es la derivada sustancial (total, convectiva) de \ lambda. Por tanto, la derivada sustancial es la derivada de la composición de las funciones \ lambda y X.
Respuesta
En la sexta edición de Fundamentals of Aerodynamics de Anderson, él explica la derivada total con un ejemplo físico. La derivada total tiene un término convectivo (con el punto de nabula V) y un término de tiempo (con el parcial respecto a t). Aquí está el ejemplo físico.
Estás en una caminata y tropezar con una cueva. Decides entrar en la cueva, pero justo cuando entras en la cueva fresca, tu amigo te clava una bola de nieve en la cara. Por tanto, sientes dos fuentes de frío. La primera es desde tu ubicación cambiante: mudarte a la cueva. El segundo es de tu amigo que te golpeó con la bola de nieve en ese instante.
Por lo tanto, la temperatura es la variable de la que estamos tomando la derivada total, y la cueva proporciona el término convectivo, y la bola de nieve forma el tiempo. término.
Se usa a menudo en aerodinámica, ya que consideramos un elemento fluido que se mueve en un flujo (solo piense en un volumen pequeño que rastrea). La derivada sustancial nos informa sobre este elemento móvil . Si no se movía, podría reemplazar la derivada sustancial con solo la parcial con respecto al tiempo. Pero debido a que la partícula se está moviendo, el término convectivo representa la propiedad que cambia entre ubicaciones.