La mejor respuesta
Para un matemático, un tensor es un tipo particular de vector (y un vector también es un tipo de tensor degenerado). No es que sean cosas marcadamente diferentes, per se.
Más bien, a cualquier espacio vectorial V\_1, V\_2, …, uno puede asociar de forma única otro espacio vectorial V\_1 \ otimes V\_2 \ otimes. .., llamado su «producto tensorial», con la propiedad de que los mapas lineales del producto tensorial corresponden a mapas multilineales de los espacios originales. Entonces los vectores en V\_1 \ otimes V\_2 \ otimes … son lo que se conoce como «tensores», pero esta es solo una forma de describir cómo se relacionan con los vectores en los espacios originales V\_1, V\_2, …, en lugar de una propiedad intrínseca. Uno también podría (generalmente como no matemático) optar por reservar la palabra «vector» para los vectores en los espacios originales y no usarla para describir vectores en los espacios tensoriales, pero esto es, nuevamente, una designación relativa, en lugar de una observación de diferencias intrínsecas.
(La mayoría de las veces, en física, los tensores que nos preocupan viven en los productos tensoriales de múltiples copias de un solo espacio vectorial V y múltiples copias de su espacio dual; el número de copias de cada uno da los llamados rangos contravariantes y covariantes del producto tensorial)
Respuesta
Un tensor es una generalización de un vector (no una matriz, exactamente).
Un vector es una tupla que obedece a las leyes de transformación correctas; por ejemplo, si realiza una rotación representada por la matriz R, el nuevo vector V «= RV. Un tensor es una generalización de esto a más dimensiones . Se necesita una copia de R para cada rango del tensor. Un tensor de rango 2 (representable como , pero no igual que una matriz bidimensional) se transforma con 2 copias de R. T «= RRT (una que actúa en cada índice , Si te gusta). Podría pertenecer al producto tensorial de los espacios vectoriales y los duales de esos espacios vectoriales, lo que pone algunas de las «R» al otro lado de la «T». Los detalles siguen en cualquier tratamiento formal.
Un tensor de rango 1 es lo que llamamos un «vector».
Para físicos, tensores y vectores, y solo tensores y vectores: representan cantidades físicamente significativas, que tienen que transformarse apropiadamente con el sistema de coordenadas o obtendría una física diferente cuando mira el sistema desde una dirección diferente.