La mejor respuesta
Es difícil elegir una, así que te dejo elegir 🙂
- Identidad de Euler
La ecuación combina cinco de los números más importantes en matemáticas . Estos son:
- 1 – la base de todos los demás números
- 0 – el concepto de nada
- pi – el número que define un círculo
- e – el número que subyace al crecimiento exponencial
- i – la raíz cuadrada «imaginaria» de -1
2. Ecuación de campo de Einstein ( resumen de las diez ecuaciones)
El físico John Wheeler lo resumió sucintamente: «El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse ; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse «.
La ecuación de Einstein puede decirnos cómo ha cambiado nuestro universo a lo largo del tiempo y ofrece destellos del momento más antiguo s de la creación. No es de extrañar que sea el favorito de muchos científicos.
3. Ecuación de onda
La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas. Se aplica a todo tipo de ondas, desde ondas de agua hasta sonido y vibraciones, e incluso ondas de luz y radio.
Es un ejemplo de la idea de que los principios matemáticos se desarrollaron en un área o para la suya propia. bien, puede tener aplicaciones vitales en otras áreas. Su belleza proviene de la combinación de estos atributos: elegancia, sorpresa, profundidad intelectual, utilidad.
4. El mapa logístico
El mapa logístico es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.
Se se puede resumir de la siguiente manera: una gran complejidad puede surgir de reglas muy simples.
La ecuación se puede usar para modelar muchos procesos naturales, por ejemplo, cómo una población de animales crece y se reduce con el tiempo.
El comportamiento de la población resulta ser enormemente sensible al valor de r, en formas contradictorias. Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá, pero si está entre 1 y 3, la población se acercará a un valor fijo, y si está por encima de 3,56995, la población se vuelve tremendamente impredecible.
Estos comportamientos son descritos como «caóticos» por los matemáticos y no son lo que instintivamente esperaríamos. Pero todos surgen de una ecuación que es matemáticamente bastante simple.
Eso es todo, por ahora.
Si crees que me perdí alguna ecuación, por favor dímelo » Lo agregaré en la respuesta 🙂
Respuesta
Estoy viendo muchos problemas básicos de cálculo que involucran PEMDAS en este momento publicados aquí, pero eso es matemáticas elemental que estoy seguro El 99\% de las personas que piensan que son realmente buenas en matemáticas pueden acertar. También noté la ecuación de Bob Hock, que es muy creativa, pero no creo que sea tan difícil de probar.
El problema que estoy publicando aquí es el problema 15 de AIME II de 2006, que parece muy complicado, pero se convierte en algo bastante simple a través de una relación creativa:
Dado que x, y, z son números reales que satisfacen
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
y que x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, donde myn son números enteros positivos y n es no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra m + n
A primera vista, estamos resolviendo un problema de álgebra en el que necesitamos encontrar la suma. Un primer pensamiento podría ser elevar al cuadrado las ecuaciones para deshacerse de las raíces cuadradas hasta cierto punto, pero este método es claramente desordenado.
Teniendo en cuenta que no necesitamos resolver para cada uno de x, y , z por separado, y solo necesitamos su suma, podríamos considerar sumar las tres ecuaciones dadas, lo que da
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Tenemos lo que necesita en un lado, pero el otro lado no parece que nada se cancelará, por lo que esto no parece correcto.
Una tercera idea sería factorizar la expresión dentro de las raíces cuadradas usando la diferencia de cuadrados ya que las fracciones dadas son todos cuadrados perfectos. Al hacerlo, se obtiene
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
etc, pero aun así, no hay una forma clara manipular los factores de cualquier forma útil. En resumen, podemos intentar resolver una variable a la vez, pero no hay una forma clara de hacerlo.
Resulta que la mejor solución a este problema es pensar geométricamente. Recuerde el Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Podemos manipular esto para obtener a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}. Ésta es exactamente la forma de los términos en el RHS de las ecuaciones.
Si dibujamos un triángulo de acuerdo con esta realización, a partir de la primera ecuación podemos formar dos triángulos rectángulos con altura \ frac {1} {4}, y con hipotenusa y y z. x es igual a la suma de la tercera longitud de cada triángulo rectángulo. Si dejamos que la altura de los triángulos rectángulos sea el mismo segmento de línea de longitud \ frac {1} {4}, formamos un triángulo más grande con longitudes de lados x, y, z, y altura de \ frac {1} {4} en el lado x.
Continuando con la misma idea para la segunda y tercera ecuación, obtenemos que la altura del triángulo en los lados yyz son \ frac {1} {5} y \ frac {1} {6}, respectivamente. A partir de la ecuación del área de un triángulo, podemos obtener
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {and} y = \ frac {5} {6} z
Además, de la fórmula de Heron , obtenemos
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Sustituyendo en z de las fórmulas de otras áreas, esto se simplifica a
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Por lo tanto,
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
entonces m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}