Mejor respuesta
cos (3x) = 4cos ^ 3 (x) – 3cos (x)
Estos son algunos resultados importantes.
- Identidades pitagóricas sin 2X + cos 2X = 1 1 + tan 2X = sec 2X 1 + cot 2X = csc 2X
- Identidades de ángulos negativos sin (-X) = – sin X, función impar csc (-X) = – csc X, función impar cos (-X) = cos X, par función sec (-X) = sec X, función par tan (-X) = – tan X, función impar cot (-X) = – cot X, función impar
- Cofunciones Identidades sin (π / 2 – X) = cos X cos (π / 2 – X) = sin X tan (π / 2 – X) = cot X cot (π / 2 – X) = tan X sec (π / 2 – X) = csc X csc (π / 2 – X) = sec X
- Fórmulas de suma cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y cos (X – Y) = cos X cos Y + sin X sin Y sin (X + Y) = sin X cos Y + cos X sin Y sin (X – Y) = sin X cosy – cos X sin Y tan (X + Y) = [tan X + tan Y] / [1 – tan X tan Y] tan (X – Y) = [tan X – tan Y] / [1 + tan X tan Y] cot (X + Y) = [cot X cot Y – 1] / [cot X + cot Y] cot (X – Y) = [cot X cot Y + 1] / [cot Y – cot X]
- Suma a las fórmulas del producto
cos X + cos Y = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X – Y) / 2]
sin X + sin Y = 2sin [(X + Y) / 2] cos [ (X – Y) / 2]
- Diferencia con las fórmulas del producto cos X – cos Y = – 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2] sin X – sin Y = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2]
- Fórmulas de producto a suma / diferencia cos X cos Y = (1/2) [cos (X – Y) + cos (X + Y)] sin X cos Y = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X – Y)] cos X sin Y = (1/2) [sin (X + Y) – sin [(X – Y)] sin X sin Y = (1/2) [cos (X – Y) – cos (X + Y)]
- Fórmulas de diferencia de cuadrados sin 2X – sin 2Y = sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – cos 2Y = – sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – sin 2Y = cos (X + Y) cos (X – Y)
- Fórmulas de ángulo doble sin (2X) = 2 sin X cos X cos (2X) = 1 – 2sin 2X = 2cos 2X – 1 tan (2X) = 2tan X / [1 – tan 2X]
- Fórmulas de ángulos múltiples
- sin (3X) = 3sin X – 4sin 3X cos (3X) = 4cos 3X – 3cos X sin (4X) = 4sin X cos X – 8sin 3X cos X cos (4X) = 8cos 4X – 8cos 2X + 1
- Fórmulas de medio ángulo sin (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / 2] cos (X / 2) = ± √ [(1 + cos X) / 2] tan (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / (1 + cos X)] = sin X / (1 + cos X) = (1 – cos X) / sin X
- Fórmulas de reducción de potencia sin 2X = 1/2 – (1/2) cos (2X)) cos 2X = 1/2 + (1 / 2) cos (2X)) sin 3X = (3/4) sin X – (1/4) sin (3X) cos 3X = (3/4) cos X + (1/4) cos (3X) sin 4X = (3/8) – (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) cos 4X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) sin 5X = (5/8) sin X – (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X) cos 5X = (5/8) cos X + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X) sin 6X = 5/16 – (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) – (1/32) cos (6X) cos 6X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X) ·
- Funciones trigonométricas Periodicidad sin (X + 2π) = sin X, período 2π cos (X + 2π) = cos X, período 2π sec (X + 2π) = sec X, período 2π csc (X + 2π) = csc X, período 2π tan (X + π) = tan X, período π cot (X + π) = cot X, período π
Espero que esto ayuda
Respuesta
¿Qué tal dos pájaros de un tiro? ¡También te encontraré la fórmula para \ sin {3x}!
Recuerda el teorema de De Moivre:
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ n = \ cos {(n \ theta)} + i \ sin {(n \ theta)}
Entonces,
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3 = \ cos {(3 \ theta)} + i \ sin {(3 \ theta)}
Expandiendo el LHS usando el teorema del binomio
( \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3
= (\ cos {\ theta}) ^ 3 + 3 (\ cos {\ theta}) ^ 2 (i \ sin {\ theta}) + 3 (\ cos {\ theta}) (i \ sin {\ theta}) ^ 2 + (i \ sin {\ theta}) ^ 3
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i \ cos ^ 2 {\ theta} \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} \ sin ^ 2 {\ theta} – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (1 – \ sin ^ 2 {\ theta}) \ sin {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} (1 – \ cos ^ 2 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (\ sin {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta}) – 3 (\ cos {\ theta} – \ cos ^ 3 {\ theta}) – i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta } + 3 \ cos ^ 3 {\ theta} + i (3 \ sin {\ theta} – 3 \ sin ^ 3 {\ theta} – \ sin ^ 3 {\ theta})
= 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta} + i (-4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta})
Comparando lo real y partes imaginarias del LHS y RHS, obtenemos:
\ boxed {\ boxed {\ cos {(3 \ theta)} = 4 \ cos ^ 3 {\ theta} – 3 \ cos {\ theta}}}
\ boxed {\ boxed {\ sin {(3 \ theta)} = -4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta}}}