¿Cuál es la fórmula o atajo para encontrar la suma de factoriales?

Mejor respuesta

Desafortunadamente, no existe un método simple. Sin embargo, existen patrones para los dígitos finales, aunque ese es un tema diferente.

Aquí está la fórmula de todos modos: Sumas factoriales – de Wolfram MathWorld

=

donde

es la integral exponencial ,

es la E n -función ,

es la parte real de z,

es la función gamma y i es el número imaginario .

Respuesta

El truco para problemas de números aterradores como este es t o encontrar patrones.

Primero, necesitamos deshacernos de todos esos feos números involucrados en factoriales y exponentes gigantes. Dado que solo estamos mirando el último dígito, cualquier dígito más allá de ese (dígito de las decenas, dígito de las centenas, etc.) no lo afectará. (Es porque todos los valores de los otros dígitos son múltiplos de 10, pero como 10> 1 y cada múltiplo de 10 termina en 0, no afecta el dígito de las unidades).

Nuestra mejor apuesta es para empezar a encontrar el dígito de las unidades de ese número sin el exponente (solo la base). Dado que los primeros factoriales son fáciles de calcular, lo hacemos. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320… .¿Por qué siguen terminando en cero?

Es por la factorización prima . Como sabes, 10 = 5 \ cdot 2. Si la factorización prima de algo tiene un 5 y un 2, entonces es un múltiplo de diez (por la propiedad distributiva). Dado que el último dígito de un número en base diez (lo que usamos) es básicamente la parte que no es divisible por 10, en múltiplos de 10 es 0.

Ahora volvemos a ver los factoriales .

1 = 1

2 = 1 * 2

3 = 1 * 2 * 3

4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3

5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5

Dado que el factorial de cualquier cosa mayor que 5 será un múltiplo de 5 !, usted sabe que tendrá un 2 y un 5 en su factorización prima, por lo que todos terminan en 0. ¡Hurra! Ahora solo tenemos que mirar 1 !, 2 !, 3 !, y 4 !. Como ya calculamos, su suma es 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, cuyo último dígito termina en 3.

Ahora, nuestro problema es 3 ^ 33. Intentamos buscar patrones nuevamente. ¡Veamos algunas potencias de 3!

3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….

Hmmmm. Cicla: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Nota: No sé por qué sucede esto. ¡Que alguien me diga por favor!) Y cada exponente que sea un múltiplo de 4 conduce a un terminando en 1, como puede ver. 32 es un múltiplo de 4, entonces 3 ^ 32 termina en 1. Ahora simplemente miramos al siguiente número en el ciclo: ¡3! Por lo tanto, termina en 3.