Mejor respuesta
La derivación de esta suma es similar a la de
\ displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Sea
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Dado que la suma es conmutativa, podemos escribir S al revés así
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ puntos + 1 \ etiqueta * {(2)}
Añadiendo estos dos representaciones término por término nos da
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
De aquí, obviamente se sigue que
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Este es un resultado conocido que puede ser probado por inducción, lo cual seguiré adelante y haré ahora mismo. Para hacer esto, debemos mostrar que
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Nota: utilizo H\_ {0} como referencia abreviada para la declaración de hipótesis)
Para mostrar que H\_ { 0} se cumple mediante inducción, debemos demostrar que la igualdad se cumple para el caso base, n = 1, y el caso de inducción, n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}. El caso base es obvio ya que 1 = 1 ^ {2} = 1, lo que nos deja con el caso de inducción.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1 ) ^ {2} \ etiqueta * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ etiqueta * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Vemos que la igualdad es válida para k + 1, por lo tanto demostrando que H\_ {0} es cierto. Por lo tanto, podemos afirmar definitivamente que nuestra derivación de (6) es correcta.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Respuesta
Veamos y veamos. Cualquiera puede al menos observar las primeras instancias, ¿verdad?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Ahora, ¿reconoces los números de la derecha?
1,4,9,16,25, \ ldots
¡Sí! son los cuadrados perfectos. 1 \ times 1, 2 \ times 2, 3 \ times 3, 4 \ times 4 y así sucesivamente.
Ahora tenemos una conjetura. Vamos a ponerla a prueba:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
¡Sí! Los seis números impares más pequeños suman 6 ^ 2, tal como lo habíamos predicho. Puedes probar algunos más: funciona.
Si somos físicos, paramos aquí. Hicimos una observación, formamos una hipótesis, probamos nuestra hipótesis experimentalmente una y dos y cien veces, siempre funciona, hecho. Nuestra teoría es correcta hasta que un experimento la refuta.
Pero nosotros Somos matemáticos, no somos nosotros. Requerimos prueba. Y hay muchas pruebas rigurosas de este pequeño y agradable hecho.
Pero también hay una prueba visual muy clara. Aquí está:
EDITAR: muchas personas han pedido una prueba rigurosa. Aquí hay una relativamente simple que puede derivarse de esta prueba visual.
Notamos que los números impares son solo las diferencias entre cuadrados consecutivos, así:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
y así sucesivamente. Por lo tanto, cuando los sumamos, todo se cancela excepto el último cuadrado:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Así que ahora escribamos esto formalmente para cualquier número de números impares que se sumen. Para cualquier k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
y por lo tanto la suma de los primeros n números impares, que es
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
es igual a
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED