Mejor respuesta
Podemos abordar esto geométricamente. Hay tres soluciones, son: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° y 1 / \_240 ° en forma polar. Necesitamos considerar el dominio de los números complejos. (por el momento no puedo proporcionar diagramas, así que me disculpo). Sería muy útil usar lápiz y papel mientras lee esta respuesta.
Nota: «/ \_» representa «ángulo». El ángulo se mide en sentido antihorario con respecto al eje real positivo (eje x positivo). Además, 0 ° es lo mismo que 360 °, 720 ° y así sucesivamente. Cualquier ángulo θ es igual que θ + 360 °.
Geométricamente, si representamos 1 en un plano complejo como 1 + 0i (1,0); esto es igual a 1 / \_ 0 ° o 1 / \_360 ° en forma polar. Podríamos dibujar un círculo unitario con el centro en el origen 0,0. Dividiendo el círculo unitario de 360 ° (o 2π radianes) en 3 partes iguales, obtenemos las tres raíces requeridas.
La primera raíz en 1 / \_0 ° o / \_360 °. [Si hago 3 vueltas completas (360 °) desde (1,0) en sentido antihorario (multiplicar por sí mismo tres veces o al cubo), llego al mismo punto: 1 / \_0 °. También tenga en cuenta: Si hago 3 “sin revoluciones” (0 °). ¡También llego al mismo punto!]
Para las otras dos raíces:
- Comenzando desde 1 / \_0 °, si hago 1/3 (un tercio o 120 °) de revolución en sentido antihorario (uno multiplicado por 1 / \_120 °), llego a 1 / \_120 °, que es la segunda raíz. Si hago dos 1/3 más de revoluciones desde allí, llego a 1 / \_360 °, es decir, 1 / \_ 0 ° nuevamente. (así que hice tres revoluciones de 1/3 o 120 °, o realicé cubos). Por lo tanto, el cubo de 1 / \_120 ° también es 1.
- Comenzando desde 1 / \_0 °, si hago 2/3 (240 °) de revolución, llego a 1 / \_240 ° que es el tercera raíz, si hago un 2/3 de revolución más, llego a 1 / \_480 °, es decir, a 1 / \_120 ° y con un 2/3 de revolución más, llego a 1 / \_720 °, es decir, de nuevo a 1 / \_0 °. así que hice tres revoluciones de 2/3 o 240 °, o hice cubos). Por tanto, el cubo de 1 / \_240 ° también es 1.
Las raíces son 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. separados por 120 ° igualmente en el círculo unitario.
Puede convertir los valores a forma rectangular y ver que las respuestas son las mismas que las dadas por otros.
En general, para obtener la raíz n, dividimos el círculo unitario en n partes iguales, o ángulos igualmente espaciados de 360 / n °, y las raíces se encuentran en el límite exterior del círculo. Entonces, como 360/5 = 72 °, las raíces 5 de la unidad son: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Respuesta
Sea z tal z ^ 3 = 1
el paso clave, no saque la raíz cúbica de ambos lados, de lo contrario perderá 2 raíces. Más bien reescribe la ecuación como:
z ^ 3–1 = 0
factor del lado izquierdo
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 tiene 2 raíces complejas:
z = -0.5 + i * 0.5sqrt (3), z = -0.5-i * 0.5sqrt (3)