Mejor respuesta
La raíz cúbica principal de -216 no es -6
La raíz cúbica principal de -216 es 3 + 3i (sqrt (3)) donde i ^ 2 = -1
Para encontrar las raíces cúbicas de -216, sea x ^ 3 = -216
Entonces x ^ 3 + 216 = 0 que se puede factorizar usando la factorización de cubos ya que 216 = 6 ^ 3
(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 )
(a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)
(x ^ 3 + 6 ^ 3) = (x + 6) (x ^ 2–6x + 36) = 0
Para resolver, establezca ambas partes iguales a cero, ya que si uno es cero, cero multiplicado por cualquier cosa es cero
(x + 6) = 0, x = 6
(x ^ 2-6x + 36) = 0 que se puede resolver completando el cuadrado
(x ^ 2-6x + c) = – 36 + c donde c es la constante. c = (b / 2) ^ 2 yb es 6 entonces c = 3 ^ 2 = 9
(x ^ 2–6x + 9) = – 27, (x ^ 2–6x + 9) factores en (x-3) (x-3) = (x-3) ^ 2
(x-3) ^ 2 = -27, (x-3) = sqrt (-27), x = 3 + sqrt (-27), x = 3 – sqrt (-27)
sqrt (-27) = (sqrt (-1x9x3)) = sqrt (-1) xsqrt (9) xsqrt (3) = 3i (sqrt (3))
x = 3 + 3i (sqrt (3), x = 3–3i (sqrt (3))
Entonces, el cubo raíces de -216 son -6, 3 + 3i (sqrt (3)), 3–3i (sqrt (3))
Al encontrar una raíz del número, la raíz principal es la raíz más cercana a el eje real positivo en el plano complejo. Si dos raíces están igualmente distantes del eje real positivo y están más cerca, la raíz con componente imaginario positivo es la raíz principal. Dado que 3 + 3i (sqrt (3)) y 3–3i ( sqrt (3)) están más cerca del eje real positivo que -6 y están igualmente distantes, la solución principal es 3 + 3i (sqrt (3)) independientemente de que -6 sea una solución real
Por lo tanto, la raíz cúbica principal de -216 es 3 + 3i (sqrt (3))
Respuesta
Re «¿Qué es \ sqrt {216} simplificado?», mi respuesta principal sería, \ sqrt {216} ya es tan «simple» como puede n hacerlo. Es «el número irracional que, cuando se eleva al cuadrado, da como resultado el entero 216». No puede ser mucho más «simple» que eso.
Ahora, algunos podrían no estar de acuerdo y decir que uno podría «simplificar» \ sqrt {216} factorizando 216 en sus factores primos. Eso le daría: \ sqrt {216} \\ = \ sqrt {(2) (2) (2) (3) (3) (3)} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6} ¿Pero esas dos últimas formas son realmente «más simples»? Los números son más pequeños, pero conceptualmente, esas expresiones, creo, son en realidad más complejas.
Entonces mi respuesta es: \ sqrt {216} simplificado es \ sqrt {216}