Mejor respuesta
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Para x + 2 = 0, tenemos x = -2
Para x ^ 2-2x + 4 = 0, necesitamos resolverlo con la fórmula cuadrática:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Obtenemos la solución x = 1 + i \ sqrt {3} y x = 1 – i \ sqrt {3}
Si estamos hablando de números reales, -8 tiene una raíz cúbica: -2
Si estamos hablando de números complejos, -8 tiene tres raíces cúbicas: -2, 1 + i \ sqrt {3} y 1 – i \ sqrt { 3}
Respuesta
No indica si desea la respuesta en un contexto real o en un contexto complejo. Hay una raíz real y un par de raíces conjugadas complejas. Dices «raíz cúbica» en forma singular. Por lo tanto, parece natural considerar el caso de un contexto real con su única raíz real y por separado el caso de la raíz principal en un contexto complejo.
En un contexto real, la raíz cúbica de −8 es −2.
En un contexto complejo, la raíz cúbica principal de −8 es 1 + i \ sqrt {3}. Puede parecer extraño que la raíz seleccionada en un contexto real no se seleccione también en un contexto complejo, aunque la raíz real esté disponible. Sin embargo, la raíz principal en un contexto complejo es la que está más cerca de estar en el eje real positivo, y si dos empatan por estar más cerca, tome la que tiene la parte imaginaria positiva. La raíz cúbica no es una función continua en el plano complejo; hay una rama cortada a lo largo del eje real negativo.