Mejor respuesta
Como muchos ya han respondido correctamente, el coseno del infinito no tiene valor. Pero es peor. Es tan malo como puede ser.
Funciones complejas
Las funciones trigonométricas, incluido el coseno, suelen ser vistas como funciones que toman números reales como argumentos, pero pueden extenderse para ser funciones complejas. Puedes hacer esto para el coseno usando esta definición de serie de potencias
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Eso hace que el coseno se defina en todo el plano complejo \ mathbf C.
Por Al extender funciones a argumentos complejos, puede comprenderlas de una manera que no puede cuando solo se usan argumentos reales. Esa es la fuerza del análisis complejo.
Los números complejos extendidos \ overline {\ mathbf C}
Considere la función mucho más simple f (z) = 1 / z. Está definido para todos los números complejos excepto z = 0. Parece tener un valor infinito en z = 0, y hay una forma de formalizar ese concepto. Extienda los números complejos en un elemento, denotado \ infty para obtener lo que a veces se llama el plano complejo cerrado o la esfera de Riemann, \ overline {\ mathbf C}. Con eso puede definir 1/0 = \ infty y 1 / \ infty = 0 para que esta función f (z) = 1 / z se defina en todo \ overline {\ mathbf C}. De hecho, da una biyección \ overline {\ mathbf C} \ to \ overline {\ mathbf C}.
¿Qué sucede cuando intentas esto con la función tangente \ tan z? Suceden cosas bonitas. Mientras que para los números reales, \ tan \ pi / 2 no está definido, para \ overline {\ mathbf C} está definido, y de hecho \ tan \ pi / 2 = \ infty. La singularidad de \ tan z en z = \ pi / 2 es como la singularidad de 1 / z en z = 0.
Estas dos funciones, 1 / z y \ tan z, tienen polos , es decir, toman el valor \ infty. La función 1 / z tiene un polo en z = 0. La función \ tan z tiene infinitos polos, uno para cada valor de z igual a \ pi / 2 más un múltiplo integral de \ pi.
Coseno de \ infty
Es hora de volver a \ cos \ infty.
Considere la función f (z) = \ cos (1 / z). Pedir el coseno de \ infty es lo mismo que pedir f (0), ya que en \ overline {\ mathbf C}, 1/0 = \ infty. A diferencia de los polos para las funciones 1 / z y \ tan z mencionadas anteriormente, esta función tiene lo que se llama una singularidad esencial. Arbitrariamente cerca de z = 0, la función f (z) = \ cos (1 / z) toma todos los números complejos infinitamente muchas veces. Eso significa que \ cos z tiene una singularidad esencial en z = \ infty. Es tan malo como puede ser.
Respuesta
No es igual a nada. Cos (infinito) es indeterminado porque el seno coseno y la tangente, así como sus inversos (secante, cosecante y cotangente), se derivan del círculo unitario.
El coseno es el eje x, y el seno es el eje y. Esto crea un triángulo rectángulo. El círculo unitario está centrado en el origen. Y ese triángulo rectángulo que se «crea», la longitud de los catetos es donde se derivan.
Para cosas como 390 grados, se mueve más de una vez, y el ángulo se evalúa como si solo pasó de 0 grados a donde terminó, que es menos de 360. Esto es básicamente solo módulo.
La expresión que puede representar esto es n mod 360 (o para ciencias de la computación, n\% 360), donde n es el ángulo.
Entonces, para infinity mod 360, no puede tener una respuesta porque el infinito aumenta constantemente. por lo que técnicamente podría ser cualquier cosa. El infinito no es un número, es un concepto. El concepto de no tener fin. Entonces, usar el infinito como un número es simplemente tener un valor que es, en cierto sentido, siempre creciente. Esto lo simplifica un poco, ya que en realidad no está aumentando, es más como suponer que hay un final cuando no lo hay, la lista de números no tiene fin. Su valor es ilimitado. Es por eso que usamos límites cuando tratamos con el infinito. Aunque el infinito como número básicamente usa límites, no podemos decir que 1 / infinito es cero, ya que el valor del infinito solo aumenta constantemente, no se pregunta a qué está convergiendo. Aunque está convergiendo a cero, nunca será cero. Lo más cercano que estará a cero es 1 – 0,999…., Que aunque se ha dicho que 0,999… es igual a 1, no lo es. Lógicamente, no lo es y no puede ser. Si aceptamos eso, entonces podemos decir con la misma facilidad que 1 = 2, y cualquier n es igual a cualquier m (n = m).
De vuelta a la pregunta original, si miras un gráfico para cos (x), verá que oscila hacia arriba y hacia abajo continuamente pasando de 1 a -1. Entonces, a medida que va hacia el infinito, nunca convergerá, y cos (infinito) siempre cambiará entre 1 y -1. Elegir cualquier valor entre esos, no será infinito, ya que siempre está creciendo en valor.
Entonces, en conclusión, cos (infinito) es indeterminado.