Mejor respuesta
Creo que el valor de esta suma (que se denota por) \; \; S \; \; es aproximadamente \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;
Se puede justificar de la siguiente manera:
\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; da el área bajo la curva \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; Eje X y las ordenadas en \; \; x \; = \; 1 \; \; y \; \; x \; = \; n + 1 \;. \; ….. …………. (1)
La suma requerida \; \; S (n) \; \; se puede interpretar como el área de \; \; n \; \; barras verticales rectangulares de ancho \; \; 1 \; \; de altura \; \; \ sqrt {j} \; \; erigidas en el eje \; \; X – \; \; donde \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (los lados verticales del \; \; j ^ {th} \; \; rectángulo son partes de las ordenadas en \; \; x = j \; \; y \; \; x = j + 1 \ ; \;)
Para obtener una buena aproximación tenemos que restar el término de error \; \; E (n) \; = \; el área entre la curva y las barras rectangulares, de (1).
Tenga en cuenta que \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ grande (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ grande) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)
En la simplificación obtenemos \; \; S (n) \; \ aproximadamente \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Grande (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;
Responder
Se ha preguntado antes.
Echa un vistazo a ¿Cuál es la suma de las raíces cuadradas del primer n número natural?
Luego, mira el documento que se proporciona.
Gracias por preguntar y señalarme esta cosa interesante, pero esto es imposible de resolver por mí mismo.