Mejor respuesta
Suponga que hay un círculo con cinco puntos equidistantes A, B, C, D y E en su perímetro de manera que el arco ABCDEA completa el círculo.
Entonces, hay cinco arcos iguales (AB, BC, CD, DE y EA), cada subtiende un ángulo {(360⁰) / 5) = 72⁰ en el centro.
Ahora, el ángulo de estrella en el vértice A no es más que el ángulo subtendido por el arco CD en el punto A; que es {(72⁰) / 2} = 36⁰.
Entonces, suma de cinco ángulos de estrella en cinco vértices = 5 * (36⁰) = 180⁰.
Respuesta
Este problema depende de cómo defina una «estrella». Pero de todos modos, comencemos con casos simples, entonces la fórmula general debería mostrarse.
Si hay 3 puntos, solo podemos tener un triángulo equilátero, por lo que el ángulo es de 60 grados. (Incluyo esto como estrella también, defina mi estrella más tarde).
Si hay 4 puntos, solo podemos tener un cuadrado, por lo que el ángulo es de 90 grados.
Si hay 5 puntos , podemos tener un pentágono, donde el ángulo es de 108 grados; o podemos tener una «estrella» en la pregunta, donde el ángulo es de 36 grados.
En general para n puntos, podemos dividir un círculo en n secciones de arco iguales. Para casos de 3 y 4 puntos, la única forma de dibujar un «bucle cerrado simétrico perfecto» (la definición de la estrella) es conectando puntos con sus puntos adyacentes, en tal caso, digamos sus pasos (número de sección de arco que se cruza en una sección de línea) k son 1. Dos líneas continuas formarán un ángulo, por lo que la fórmula de este tipo de «estrella» (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, etc.) es 180 * (n-2 * 1) / n grados.
En 3, 4 puntos ca Por lo tanto, no hay otra solución que no sea el paso 1. En el caso de 5 puntos, además del paso 1, un paso de 2 formará la estrella de 36 grados. Entonces, cuando el paso k es primo relativo a los puntos n, podemos tener la fórmula del ángulo
180 * (n-2 * k) / n grados.
Entonces en 6 puntos , la única solución es k = 1, por lo que el ángulo es de 120 grados.
En el caso de 7 puntos, k podría ser 1, 2 o 3, cuando k = 1 el ángulo es 900/7 grados; cuando k = 2 el ángulo es de 540/7 grados; cuando k = 3 el ángulo es 180/7 grados.
En el caso de 8 puntos, k podría ser 1 o 3, cuando k = 1 el ángulo es 135 grados; cuando k = 3 el ángulo es de 45 grados.