Mejor respuesta
Hay 2 respuestas que podemos encontrar aquí para esta pregunta.
- -1/12
- Infinito
Claramente \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n diverge. Pero entonces, ¿por qué algunas personas responden -1/12? Porque ambos son correctos.
Este es uno de los ejemplos más simples de un concepto crucial en la comprensión de las teorías físicas, la regularización. El número -1/12, aparentemente absurdo, tiene una interpretación física en la llamada energía de Casimir.
A menudo, cuando tratamos de calcular cantidades físicas en teorías cuánticas, obtenemos infinito. En ese momento, podemos descartar la respuesta, pero esto no nos llevaría a ninguna parte. Alternativamente, podemos intentar darle sentido. Para hacer eso, intentamos extraer una respuesta finita del infinito. Este proceso se llama regularización. Podría haber muchas formas de regularizar sistemáticamente una serie divergente (o integral), pero el punto importante es que todos estos métodos darían el mismo resultado finito. En particular, la suma anterior siempre nos daría -1/12. Esto en sí mismo sugiere que -1/12 no es totalmente absurdo.
La siguiente discusión se deriva principalmente de la Sección 4.1 de Birrel y Davies – Campos cuánticos en el espacio curvo. Presentaré la esencia de la discusión.
Supongamos que consideramos un campo escalar sin masa en 2 dimensiones (una dirección temporal y un espacio). Un campo escalar sin masa es muy parecido a un campo electromagnético, pero mucho más simple. Además, restrinjamos el campo escalar en un círculo de circunferencia L. Ahora hemos definido un sistema cuántico y podemos intentar calcular varias cantidades, incluida la energía mínima / del estado fundamental de este sistema. La energía del estado fundamental resulta ser E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n.
Ahora podemos regularizar esta integral y obtener E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). El punto importante es que esto es exactamente lo que obtendremos si intentáramos calcular la diferencia entre la energía del estado fundamental de este sistema y otro sistema similar donde el campo escalar está restringido en una línea de longitud infinita (que esencialmente toma la circunferencia de el círculo sea infinito). Claramente, esta energía regularizada es una cantidad física y, de hecho, se puede medir en el laboratorio.
Concluimos que la declaración \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 no es nulo.
Editar:
A continuación se muestra una forma en que podemos regularizar la suma.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
El límite anterior diverge, como se esperaba , pero se puede escribir de la siguiente manera
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Así es como recuperamos una parte finita regularizada de la suma divergente. La forma de regularizar la suma no es de ninguna manera única, pero la parte finita de la suma es siempre -1/12.
Respuesta
¿Qué queremos decir con «es» o «igualdad»? Esa es la pregunta que subyace a la confusión sobre la suma de todos los números naturales.
Sumas finitas
No «No tengo un problema con las sumas finitas:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
está perfectamente bien definido para cualquier secuencia de a\_i \ in \ mathbb R. Gracias a la conmutatividad y asociatividad de la suma, ni siquiera depende de el orden de a\_i: puedes mezclar la secuencia en cualquier permutación sin afectar el resultado.
Infinite Series
Cuando llegamos a secuencias infinitas, (a\_i), sin embargo, ¿qué significa la suma infinita? ¿Qué es ?
El más sencillo, el más seguro y predeterminado el significado es un límite de sumas finitas. Esa es la definición de una suma infinita es
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Cuando esta serie converge absolutamente , todo va bien. Puede:
- confiar en el resultado;
- mezclar el orden de los términos;
- sumar o restar dos de tales series; e incluso
- cambiar el orden de dos sumas anidadas.
Pero si la serie es divergente o solo condicionalmente convergente el valor:
- puede no existir;
- puede depender del orden; o
- puede requerir métodos sofisticados para definir
y usted puede ni manipular términos de la secuencia ni sumar / restar dos de tales secuencias.
Tal es el caso de la suma de los números naturales donde
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Esto claramente diverge a + \ infty como n \ a \ infty, por lo que el valor predeterminado estándar no existe. Y eso es lo que la mayoría de la gente debería ir.
Métodos elegantes
Si no lo hace completamente, incluso íntimamente, comprenda el significado preciso de todo lo anterior, ciertamente debería no pasar a métodos sofisticados. Del mismo modo, debe tratar a cualquiera que manipule secuencias no absolutamente convergentes como si estuvieran dividiendo por cero: los resultados son igualmente confiables.
Existe una serie infinita perfectamente respetable llamada Serie Dirichlet :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Si los (a\_n) están acotados, esta serie converge absolutamente para cualquier s \ in \ mathbb C cuya parte Real sea estrictamente mayor que uno, \ Re (s)> 1. Para \ Re (s) \ leq1 estamos en un terreno menos sólido…
Continuación analítica
Dado que f ( s) es una función analítica definida en el semiplano abierto con \ Re (s)> 1 tiene una continuación analítica al resto del plano complejo. La continuación cuando todos a\_n son uno, f\_1 (s), es la Función Zeta de Riemann :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
donde \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x es la función Gamma , una extensión analítica de la función factorial.
Para \ Re (s)> 1, \ zeta (s) = f\_1 (s).
Para s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb no converge
Si ahora desea hacer algo llamado regularización de la función zeta , podría afirmar
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
pero tenga en cuenta que está jugando con lo que significa «igualdad» y lo que «es» una suma.
Todo está bien, pero si ha llegado hasta aquí, habrá notado lo mucho que necesita saber comprender lo que está haciendo. Mucho más de lo que normalmente obtienes en un video de Numberphile …