Mejor respuesta
«La suma de todos los números reales» no está definida en matemáticas convencionales, y no estoy seguro que podría definirse sin causar problemas graves.
El primer problema es que el conjunto de todos los números reales es un conjunto incontable, es decir, no se puede poner en una relación de uno a uno con el conteo números (es decir, 1, 2, 3, 4, etc.) No existe una definición convencional de la suma de los miembros de un conjunto incontable, pero sí de la suma de los miembros de algunos conjuntos contables.
Suponga que tiene un conjunto contable {x1, x2, x3,…. xn,…}. Puede definir una suma parcial Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, es decir, la suma de los primeros n términos. Para asegurarse de que nada salga mal si reordena el conjunto, puede definir una suma parcial positiva Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /. Si existe el límite (cuando n va al infinito) de la serie Pn, entonces el límite de la serie Sn también existe (pero no es el mismo que el límite de Pn a menos que todos los de xn sean no negativos). Eso significa que puede decir que la suma de todos los números de nuestro conjunto contable es el límite de la serie Sn.
Entonces, si el conjunto es {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, tiene una serie muy convergente y la suma de los miembros del conjunto es 1. Sin embargo, si tiene todos los números enteros (positivo y negativo), tiene un conjunto contable {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, pero las sumas parciales no convergen; son 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Esa falta de convergencia de los enteros ocurre a pesar del hecho de que cada entero positivo n tiene un entero negativo correspondiente, así que pensarías que se cancelan. Sin embargo, no se cancelan en cada suma parcial alternativa, y no se cancelarían si tomara el conjunto en un orden diferente, p. Ej. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Los números reales son peores, porque no hay una definición de suma del conjunto, dado que es incontables, e incluso si hubiera uno, cambiar el orden en el que los tomó daría un resultado diferente, aunque para cada número real positivo hay un número real negativo correspondiente.
Respuesta
Resolvámoslo usando teoría de grupos.
Sea G (\ mathbb {R}, +) un grupo.
Tiene identidad aditiva ie 0 y aditivo inverso \ forall a \ en G, es -a.
Ahora agregando todos los elementos de este grupo, tenemos pares de un número y su inverso se cancela entre sí.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, Podemos escribir esto debido a la propiedad conmutativa y asociativa de este grupo especial.
Dividimos el conjunto \ mathbb {R} en \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} y elemento de identidad.
Escribamos la expresión anterior como
= X + Y + 0
Como 0 es identidad,
la expresión anterior da
= X + Y
Ahora, \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ implica X = Y ^ {- 1}
\ implica Y = -X
\ implica X + Y = elemento de identidad de G = 0.
Por tanto, la suma de todos los números reales es cero.