Mejor respuesta
La mayoría de las secuencias que encuentras vienen dadas por una fórmula para n- th término: a\_n = f (n) donde f es una función construida a partir de operaciones aritméticas, potencias, raíces, exponenciación, registros y, a veces, otras funciones. La pregunta es qué sucede cuando n se acerca al infinito. ¿Es \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) un número finito, es decir, la secuencia converge o sucede algo más? ¿Diverge a \ infty o a – \ infty, oscila entre dos números diferentes o se desata todo el caos?
Si «no está interesado en la certeza, pero satisfecho con una respuesta que» s va a ser correcto en la mayoría de las situaciones, puede calcular a\_ {1000} o en algún otro lugar lejano en la secuencia. Para la mayoría de las secuencias que encuentre, eso debería responder a su pregunta.
Pero esa no es su pregunta. Realmente desea saber si la secuencia converge o no. Quiere certeza y, si es posible, quiere para saber a qué número converge. Desafortunadamente, las formas que pueden tomar las secuencias son ilimitadas. Lo mejor que puede hacer es tener varios principios que se encargarán de la mayoría de los casos. Aquí hay algunos principios.
- Funciones racionales , es decir, cocientes de polinomios, como a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Puedes ver lo que va a pasar si divides el numerador y el denominador por la potencia más alta de n que está presente. Puedes resumirlo todo en un teorema: si el grado del numerador es el mismo que el grado del denominador, entonces la secuencia converge a la relación de los coeficientes principales (4/3 en el ejemplo); si el denominador tiene un grado más alto, entonces la secuencia converge a 0; si el numerador tiene un mayor r grado, entonces la secuencia diverge a \ infty si los coeficientes principales tienen el mismo signo, oa – \ infty si tienen signos diferentes.
- Cocientes de funciones algebraicas que involucran raíces como a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Divida el numerador y el denominador por una potencia fraccionaria de n. En este ejemplo, \ sqrt n servirá.
- Composiciones , por ejemplo, a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. La función externa, seno, es una función continua y las funciones continuas preservan los límites. En este caso, tenemos \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, por lo que la secuencia original se aproxima a \ sin0 = 0. Pero considere a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} en su lugar. Aquí tenemos \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, y \ sin x oscila entre –1 y 1 cuando x \ to \ infty, por lo que esta secuencia no tiene límite.
- Órdenes de crecimiento relativos . Con frecuencia tendrás a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} donde tanto f (n) \ to \ infty como g (n) \ to \ infty. Lo que sucede con el cociente depende de si el el numerador o denominador crece más rápido. Usaré el símbolo \ prec para indicar que uno crece mucho más lento que otro, es decir, f \ prec g significa \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Es útil conocer algunos de estos, y lo hace. Por ejemplo, n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Todos estos son ejemplos de polinomios, pero debería conocer algunas otras funciones \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- Regla de L «Hôpital» . Aunque las secuencias son discretas, si el límite continuo converge, o si diverge a más o menos infinito, entonces entonces hace el límite discreto. Por ejemplo, si «tienes a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} y no usaste las órdenes mencionadas anteriormente, podrías usar L» Hôpital » Como en el límite, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, el numerador y el denominador se acercan al infinito, ese límite será el mismo que el límite donde reemplaza el numerador y denominador por sus derivadas, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, y si aún no está claro qué sucede, ya que esto también es de la forma \ infty / \ infty, puede utilizar la regla de L «Hôpital» s ain.
- El límite especial para e ^ x. A veces, esto se utiliza como definición de la función exponencial. Vale la pena conocerlo y aparece con frecuencia en secuencias útiles. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
Estoy seguro de que hay más técnicas. No olvide simplificar el uso del álgebra sobre la marcha.
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Pocas pruebas para probar la convergencia de secuencias.
1. Dada una secuencia a\_n y si tenemos una función f (x) tal que f (n) = a\_n y \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L entonces \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. Si \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0 entonces \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. La secuencia {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty converge si -1 \ ler \ le1.
4. Para una secuencia \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, entonces a\_n es convergente con el límite L.